Die Wurzelformeln des Sriniwasa Ramanujan

Im Spiegel Online erschien heute ein kurzer Artikel über den indischen Mathematiker Sriniwasa Ramanujan Aiyangar:

Vor 125 Jahren wurde der indische Zahlenvirtuose Sriniwasa Ramanujan geboren. Der Autodidakt verblüffte Mathematiker mit Formeln, die er zwar selten beweisen konnte - aber sie stimmten fast immer. Bis heute entdecken Forscher in Ramanujans Schriften neue Ideen.

Ärgerlich ist die Bilderstrecke zum Artikel:

Was für ein Geschwurbel! Statt auch nur eine der eleganten Gleichungen genauer unter die Lupe zu nehmen, macht Spon daraus eine banale Klickstrecke. Habt ihr keinen Wissenschaftsredakteur?

Aber das war ja nicht anders zu erwarten. Ich meine, hey, das ist Mathematik, darüber schreibt man nicht, da bildet man die Formeln lediglich ab, um dieses total unverständliche Zeug zu illustrieren und mal wieder klarzumachen, mit welchem Unfug diese Mathematiker sich herumschlagen.

Qualitätspresseerzeugnis Die Zeit: Mathematik kann furchteinflößend sein. So ziemlich jeder neunjährige Schüler weiß das.

Ein Satz bringt die verpasste Gelegenheit auf den Punkt:

Der Autodidakt verblüffte Mathematiker mit Formeln, die er zwar selten beweisen konnte - aber sie stimmten fast immer.

Was heißt da beweisen? Die Wurzelformeln kann man nachrechnen. Mathematik-Abiturkenntnisse reichen. Zumindest die bayrischen; möglicherweise schaut es in Hamburg anders aus.

---

Wurzelformel 1

Wir rechnen nach:

  (3 + 2·∜5)
∜ ———————————— =
  (3 - 2·∜5)

Dazu erweitern wir den Bruch mit 2·∜5² + 2:

   (3 + 2·∜5)       (3 + 2·∜5) · (2·∜5² + 2)
∜ ———————————— = ∜ —————————————————————————— =
   (3 - 2·∜5)       (3 - 2·∜5) · (2·∜5² + 2)

und multiplizieren aus:

   4·∜5³ + 6·∜5² + 4·∜5 + 6
∜ ——————————————————————————— =
  -4·∜5³ + 6·∜5² - 4·∜5 + 6

Wir formen um und nutzen dazu x = ∜x⁴:

   4·∜5³ + 6·∜5² + 4·∜5 + 1 + 5
∜ ——————————————————————————————— =
  -4·∜5³ + 6·∜5² - 4·∜5 + 1 + 5

   4·∜5³ + 6·∜5² + 4·∜5 + 1 + ∜5⁴
∜ ————————————————————————————————— =
  -4·∜5³ + 6·∜5² - 4·∜5 + 1 + ∜5⁴

   ∜5⁴ + 4·∜5³ + 6·∜5² + 4·∜5 + 1
∜ ———————————————————————————————— =
   ∜5⁴ - 4·∜5³ + 6·∜5² - 4·∜5 + 1

In den binomischen Formeln für die vierte Potenz:

(a + b)⁴ = a⁴ + 4·a³b + 6·a²b² + 4·ab³ + b⁴
(a - b)⁴ = a⁴ - 4·a³b + 6·a²b² - 4·ab³ + b⁴

setzen wir a ≔ ∜5 und b ≔ 1 und erhalten:

   (∜5 + 1)⁴
∜ ——————————— =
   (∜5 - 1)⁴

Mit ∜x⁴ = x ergibt sich:

 ∜5 + 1
———————— ✓
 ∜5 - 1

War doch gar nicht so schwer. ☺

---

Wurzelformel 2

Hier beginnen wir mit der rechten Seite und berechnen deren Quadrat:

[⅓ · (∛(7²·2) - ∛(7·2²) - 1)]² =

⅓² · (∛(7²·2) - ∛(7·2²) - 1)² =

Wir benutzen die Formel für ein Trinom:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

und multiplizieren das Quadrat aus:

⅓² · [∛(7²·2) - ∛(7·2²) - 1]² =

⅓² · [∛(7⁴·2²) + ∛(7²·2⁴) + 1 - 2·∛(7³·2³) - 2·∛(7²·2) + 2·∛(7·2²)] =

Wir ziehen mit ∛x³ = x die Faktoren 7³ und 2³ aus den Wurzeln:

⅓² · [7·∛(7·2²) + 2·∛(7²·2) + 1 - 2·7·2 - 2·∛(7²·2) + 2·∛(7·2²)] =
                     ↑                       ↑

und fassen gleichartige Terme zusammen (die mit ↑ markierten heben sich auf):

⅓² · [9·∛(7·2²) - 27] = ∛(7·2²) - 3 =

Mit x = ∛x³, also 3 = ∛3³ = ∛27 ergibt sich:

∛(28) - ∛(27)

Damit haben wir:

∛(28) - ∛(27) = [⅓ · (∛(7²·2) - ∛(7·2²) - 1)]²

Durch Wurzelziehen erhalten wir:

√ [∛(28) - ∛(27)] = ⅓ · (∛(7²·2) - ∛(7·2²) - 1) ✓

Das war auch nicht viel schwieriger. ☺

---

Wurzelformel 3

Vorab ein Hinweis zur Notation: der Unicode-Zeichenvorrat enthält Zeichen für dritte Wurzel ∛ und vierte Wurzel ∜, aber kein Zeichen für die fünfte Wurzel. Ersatzweise nutze ich das einfache Wurzelzeichen √.

Diese Wurzelformel prüfen wir wie die zweite von rechts nach links. Bei der Berechnung der dritten Potenz des Trinoms auf der rechten Seite entstehen 10 Terme statt wie bei der zweiten Aufgabe nur 6; die Rechnung ist dadurch unübersichtlicher, aber nicht schwieriger.

Die dritte Potenz eines Trinoms wird so berechnet:

(a  +  b  +  c   )³ =

 a³ +  b³ +  c³  + 3 ab²  + 3 a²b  + 3 ac²  + 3 a²c  + 3 bc²  + 3 b²c  + 6 abc

In dieser Formel setzen wir:

      1            3             3²
a ≔ √————    b ≔ √————    c ≔ -√————
      5²           5²            5²

(   a   +   b   +   c   )³

(   1       3       3²  )³
( √———— + √———— - √———— )
(   5²      5²      5²  )

multiplizieren aus:

  a³  +   b³  +   c³  + 3 ab²   + 3 a²b   + 3 ac²   + 3 a²c   + 3 bc²   + 3 b²c   + 6 abc

  1       3³      3⁶        3²        3         3⁴        3²        3⁵        3⁴        3³
√———— + √———— - √———— + 3·√———— + 3·√———— + 3·√———— - 3·√———— + 3·√———— - 3·√———— - 6·√————
  5⁶      5⁶      5⁶        5⁶        5⁶        5⁶        5⁶        5⁶        5⁶        5⁶
                           ↑                   ↑         ↑                  ↑

und streichen die Terme, die sich gegenseitig aufheben:

  1       3³      3⁶                  3                             3⁵                  3³
√———— + √———— - √————           + 3·√————                     + 3·√————           - 6·√————
  5⁶      5⁶      5⁶                  5⁶                            5⁶                  5⁶

Dann ziehen wir den Faktor 3⁵ als 3 vor die fünfte Wurzel:

  1       3³        3         3           1         3³
√———— + √———— - 3·√———— + 3·√———— + 3·3·√———— - 6·√————
  5⁶      5⁶        5⁶        5⁶          5⁶        5⁶
                   ↑        ↑

Wieder heben sich zwei Terme auf:

  1       3³                              1         3³
√———— + √————                     + 3·3·√———— - 6·√————
  5⁶      5⁶                              5⁶        5⁶

Die eine 3 stammt aus der Trinom-Formel, die andere aus dem Zähler der Wurzelformel. Die Formel funktioniert deshalb nur mit 3 und 3² in den Zählern, nicht aber mit anderen Werten.

Wir fassen gleichartige Terme zusammen:

     1         3³
10·√———— - 5·√————
     5⁶        5⁶

und ziehen den Faktor ⅕⁵ als ⅕ vor die Wurzel:

       1          3³        1      3³
⅕·10·√——— - ⅕·5·√———— = 2·√——— - √————
       5          5         5       5

Jetzt noch den Faktor 2 als 2⁵ in die Wurzel gezogen:

  2⁵     3³      32      27
√——— - √———— = √———— - √————
  5      5        5       5

Damit ergibt sich:

  32      27    (   1       3       3²  )³
√———— - √———— = ( √———— + √———— - √———— )
   5       5    (   5²      5²      5²  )

Wir ziehen auf beiden Seiten die dritte Wurzel:

 (   32      27  )     1       3       3²
∛( √———— - √———— ) = √———— + √———— - √———— ✓
 (    5       5  )     5²      5²      5²

Geschafft. ☺

Nochmal zur Klarheit: das einfache Wurzelzeichen √ steht durchgehend für die fünfte Wurzel.

---

Wurzelformel 4

Die vierte Wurzelformel entspricht bis auf Vorzeichen der dritten. Wir beginnen wieder rechts und schlagen uns beim Ausmultiplizieren der Potenz nochmal mit zehn Termen herum.

Die dritte Potenz eines Trinoms wird so berechnet:

(a  +  b  +  c   )³ =

 a³ +  b³ +  c³  + 3 ab²  + 3 a²b  + 3 ac²  + 3 a²c  + 3 bc²  + 3 b²c  + 6 abc

In dieser Formel setzen wir:

      1              2            2²
a ≔ ∛————    b ≔ - ∛————    c ≔ ∛————
      3²             3²           3²

(   a   +   b   +   c   )³

(   1       2       2²  )³
( ∛———— - ∛———— + ∛———— )
(   3²      3²      3²  )

multiplizieren aus:

 a³  +   b³  +   c³  + 3 ab²   + 3 a²b   + 3 ac²   + 3 a²c   + 3 bc²   + 3 b²c   + 6 abc

 1       2       2²        2²        2         2⁴        2²        2⁵        2⁴        2³
———— -  ———— +  ———— + 3·∛———— - 3·∛———— + 3·∛———— + 3·∛———— - 3·∛———— + 3·∛———— - 6·∛————
 3²      3²      3²        3⁶        3⁶        3⁶        3⁶        3⁶        3⁶        3⁶

und ziehen den Faktor 2³ als 2 vor die dritte Wurzel:

 1       2       2²        2²        2           2         2²          2²          2      6·2
———— -  ———— +  ———— + 3·∛———— - 3·∛———— + 3·2·∛———— + 3·∛———— - 3·2·∛———— + 3·2·∛———— - —————
 3²      3²      3²        3⁶        3⁶          3⁶        3⁶          3⁶          3⁶      3²
                          ↑                               ↑           ↑

Wir fassen gleichartige Terme zusammen, dabei heben sich die Terme mit 2²⁄3⁶ (↑) auf:

    2      1 - 2 + 2² - 2·6       ∛2     9
9·∛———— + —————————————————— = 9·———— - ———— = ∛2 - 1
    3⁶             3²             3²     3²

Damit ergibt sich:

             (   1       2       2²  )³
  ∛2 - 1   = ( ∛———— - ∛———— + ∛———— )
             (   3²      3²      3²  )

Wir ziehen auf beiden Seiten die dritte Wurzel:

              (   1       2       2²  )
∛( ∛2 - 1 ) = ( ∛———— - ∛———— + ∛———— ) ✓
              (   3²      3²      3²  )

Und wieder geschafft. ☺

---

Eigene Wurzelformeln

Nun zur Kür: wir konstruieren eigene Wurzelformeln. Als Basis benutzen wir die zweite Wurzelformel, ändern das Vorzeichen des zweiten Terms, und statt der Werte 7²·2 und 7·2² verwenden wir x²·y und x·y²; die Werte von x und y ergeben sich später.

( ∛(x²·y) + ∛(x·y²) - 1 )²

Wir benutzen die Formel für ein Trinom:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2·a·b + 2·a·c + 2·b·c

und multiplizieren das Quadrat aus:

( ∛(x²·y) + ∛(x·y²) - 1 )² =

a²       + b²       + c² + 2·a·b       + 2·a·c     + 2·b·c

∛(x⁴·y²) + ∛(x²·y⁴) + 1  + 2·∛(x³·y³) - 2·∛(x²·y) - 2·∛(x·y²) = 

Wir ziehen mit ∛x³ = x die Faktoren x³ und y³ aus den Wurzeln:

x·∛(x·y²) + y·∛(x²·y) + 1 + 2·x·y - 2·∛(x²·y) - 2·∛(x·y²) = 

und fassen gleichartige Terme zusammen:

(x-2)·∛(x·y²) + (y-2)·∛(x²·y) + (2·x·y + 1) =

Wir setzen y = 2, damit der mittlere Term verschwindet.

(x-2)·∛(x·2²) + (4·x + 1)

Für eine elegante Formel sollte 4·x+1 durch x-2 teilbar sein. Damit erhalten wir drei Formeln:

1. eigene Wurzelformel:

Für x=3 ist 4·x+1=13 durch x-2=1 teilbar mit Quotient 13:

∛(3·2²) + 13  = (∛(3²·2) + ∛(3·2²) - 1)² =

√(∛12   + 13) =  ∛18     + ∛12     - 1

√(∛12 + 13) = ∛18 + ∛12 - 1

2. eigene Wurzelformel:

Für x=5 ist 4·x+1=21 durch x-2=3 teilbar mit Quotient 7:

∛(5·2²) + 7     =  ⅓ · (∛(5²·2) + ∛(5·2²) - 1)² =

√(∛20   + ∛343) = √⅓ · (∛50     + ∛20     - 1)

√(∛20 + ∛343) = √⅓ (∛50 + ∛20 - 1)

3. eigene Wurzelformel:

Für x=11 ist 4·x+1=45 durch x-2=9 teilbar mit Quotient 5:

∛(11·2²) + 5     = 1/9 · (∛(11²·2) + ∛(11·2²) - 1)² =

√(∛44    + ∛125) =  ⅓  · (∛242     + ∛44      - 1)

√(∛44 + ∛125) = ⅓ (∛242 + ∛44 - 1)

Die Eleganz der drei Formeln reicht nicht an die Originale heran.
Allerdings bin ich auch weder Mathematiker noch stamme ich aus Indien. ☺