Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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N 85.051129°
E  0.000000°
← 1 726.636 km → N 85.051129°
E180.000000°

9 457.254 km

9 457.254 km
N  0.000000°
E  0.000000°
← 20 015.087 km →
127 040 747 km²
N  0.000000°
E180.000000°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 1 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 0 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75 y=0.25 und der Vergrößerungsstufe zoom=1 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75 × 21)
    floor (0.75 × 2)
    floor (1.5)
    tx = 1
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25 × 21)
    floor (0.25 × 2)
    floor (0.5)
    ty = 0
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 1 / 1 / 0 ti = "1/1/0"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/1/1/0.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1 ÷ 21
    1 ÷ 2
    x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 0 ÷ 21
    0 ÷ 2
    y = 0
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535
    Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0 × 2 - 1) × π
    1 × 3.1415926535
    Φ = 3.1415926535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.1415926535))-π/2
    2×atan(23.1406926307014)-π/2
    2×1.52760927826624-π/2
    3.05521855653248-1.57079632675
    φ = 1.48442223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.48442223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 85.051129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1 KachelY 0 0.00000000 1.48442223 0.000000 85.051129
    Oben rechts KachelX + 1 2 KachelY 0 3.14159265 1.48442223 180.000000 85.051129
    Unten links KachelX 1 KachelY + 1 1 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
    Unten rechts KachelX + 1 2 KachelY + 1 1 3.14159265 0.00000000 180.000000 0.000000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.48442223-0.00000000) × R
    1.48442223 × 6371000
    dl = 9457254.02733m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.48442223-0.00000000) × R
    1.48442223 × 6371000
    dr = 9457254.02733m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-3.14159265) × cos(1.48442223) × R
    3.14159265 × 0.0862667380803361 × 6371000
    do = 1726636.24831453m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-3.14159265) × cos(0.00000000) × R
    3.14159265 × 1 × 6371000
    du = 20015086.77315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.48442223)-sin(0.00000000))×
    abs(λ12)×abs(0.0862667380803361-1)×
    abs(3.14159265-0.00000000)×0.913733261919664×
    3.14159265×0.913733261919664×6371000²
    3.14159265×0.913733261919664×40589641000000
    ar = 127040747466638m²