Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
4 / 10 / 14
↖ ↑ ↗
← S 79.171334°
E 45.000000°		 ← 470.036 km → S 79.171334°
E 67.500000°		 →
↑
389.733 km
↓
↑
389.733 km
↓
S 82.676285°
E 45.000000°		 ← 318.928 km →
153 791 km²		 S 82.676285°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 4 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65625 y=0.90625 und der Vergrößerungsstufe zoom=4 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65625 × 24)
    floor (0.65625 × 16)
    floor (10.5)     		tx = 10
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90625 × 24)
    floor (0.90625 × 16)
    floor (14.5)     		ty = 14
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 4 / 10 / 14 ti = "4/10/14"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/4/10/14.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10 ÷ 24
    10 ÷ 16     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14 ÷ 24
    14 ÷ 16     		y = 0.875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Φ = -2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.356194490125))-π/2
    2×atan(0.0947802248485378)-π/2
    2×0.0944979320635037-π/2
    0.188995864127007-1.57079632675     		φ = -1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10 KachelY 14 0.78539816 -1.38180046 45.000000 -79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 11 KachelY 14 1.17809725 -1.38180046 67.500000 -79.171334
    Unten links KachelX 10 KachelY + 1 15 0.78539816 -1.44297339 45.000000 -82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 11 KachelY + 1 15 1.17809725 -1.44297339 67.500000 -82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38180046--1.44297339) × R
    0.0611729299999999 × 6371000     		dl = 389732.737029999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38180046--1.44297339) × R
    0.0611729299999999 × 6371000     		dr = 389732.737029999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-1.17809725) × cos(-1.38180046) × R
    0.39269909 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 470036.151819798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-1.17809725) × cos(-1.44297339) × R
    0.39269909 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 318928.26618759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38180046)-sin(-1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.127475144203388)×R²
    abs(1.17809725-0.78539816)×0.0603975926671387×R²
    0.39269909×0.0603975926671387×6371000²
    0.39269909×0.0603975926671387×40589641000000     		ar = 153790592681.482m²