Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 10 / 18
↖ ↑ ↗
← S 21.943045°
W 67.500000°		 ← 1 160.319 km → S 21.943045°
W 56.250000°		 →
↑
1 112.963 km
↓
↑
1 112.963 km
↓
S 31.952162°
W 67.500000°		 ← 1 061.413 km →
1 239 507 km²		 S 31.952162°
W 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.328125 y=0.578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.328125 × 25)
    floor (0.328125 × 32)
    floor (10.5)     		tx = 10
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578125 × 25)
    floor (0.578125 × 32)
    floor (18.5)     		ty = 18
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 10 / 18 ti = "5/10/18"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/10/18.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10 ÷ 25
    10 ÷ 32     		x = 0.3125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18 ÷ 25
    18 ÷ 32     		y = 0.5625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3125 × 2 - 1) × π
    -0.375 × 3.1415926535     		Λ = -1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5625 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Φ = -0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.17809725} λ = -1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3926990816875))-π/2
    2×atan(0.675231906663356)-π/2
    2×0.593908967165888-π/2
    1.18781793433178-1.57079632675     		φ = -0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10 KachelY 18 -1.17809725 -0.38297839 -67.500000 -21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 11 KachelY 18 -0.98174770 -0.38297839 -56.250000 -21.943045
    Unten links KachelX 10 KachelY + 1 19 -1.17809725 -0.55767043 -67.500000 -31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 11 KachelY + 1 19 -0.98174770 -0.55767043 -56.250000 -31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38297839--0.55767043) × R
    0.17469204 × 6371000     		dl = 1112962.98684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38297839--0.55767043) × R
    0.17469204 × 6371000     		dr = 1112962.98684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.17809725--0.98174770) × cos(-0.38297839) × R
    0.19634955 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 1160319.38486332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.17809725--0.98174770) × cos(-0.55767043) × R
    0.19634955 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 1061412.91984971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38297839)-sin(-0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.848490246343458)×R²
    abs(-0.98174770--1.17809725)×0.0790655260501612×R²
    0.19634955×0.0790655260501612×6371000²
    0.19634955×0.0790655260501612×40589641000000     		ar = 1239506716122.11m²