Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1000 / 1128
↖ ↑ ↗
← S 17.978733°
W  4.218750°		 ← 18.592 km → S 17.978733°
W  4.042969°		 →
↑
18.583 km
↓
↑
18.583 km
↓
S 18.145852°
W  4.218750°		 ← 18.574 km →
345.318 km²		 S 18.145852°
W  4.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488525390625 y=0.551025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488525390625 × 211)
    floor (0.488525390625 × 2048)
    floor (1000.5)     		tx = 1000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551025390625 × 211)
    floor (0.551025390625 × 2048)
    floor (1128.5)     		ty = 1128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1000 / 1128 ti = "11/1000/1128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1000/1128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1000 ÷ 211
    1000 ÷ 2048     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1128 ÷ 211
    1128 ÷ 2048     		y = 0.55078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55078125 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.319068003871094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319068003871094))-π/2
    2×atan(0.726826120635872)-π/2
    2×0.628504119474422-π/2
    1.25700823894884-1.57079632675     		φ = -0.31378809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31378809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.978733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1000 KachelY 1128 -0.07363108 -0.31378809 -4.218750 -17.978733
    Oben rechts KachelX + 1 1001 KachelY 1128 -0.07056312 -0.31378809 -4.042969 -17.978733
    Unten links KachelX 1000 KachelY + 1 1129 -0.07363108 -0.31670486 -4.218750 -18.145852
    Unten rechts KachelX + 1 1001 KachelY + 1 1129 -0.07056312 -0.31670486 -4.042969 -18.145852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31378809--0.31670486) × R
    0.00291676999999996 × 6371000     		dl = 18582.7416699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31378809--0.31670486) × R
    0.00291676999999996 × 6371000     		dr = 18582.7416699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.07056312) × cos(-0.31378809) × R
    0.00306796000000001 × 0.951171150272265 × 6371000     		do = 18591.5657737881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.07056312) × cos(-0.31670486) × R
    0.00306796000000001 × 0.950266803693645 × 6371000     		du = 18573.889439835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31378809)-sin(-0.31670486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951171150272265-0.950266803693645)×R²
    abs(-0.07056312--0.07363108)×0.00090434657861993×R²
    0.00306796000000001×0.00090434657861993×6371000²
    0.00306796000000001×0.00090434657861993×40589641000000     		ar = 345318271.459008m²