Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10016 / 1824
↖ ↑ ↗
← N 80.058050°
E 40.078125°		 ← 421.82 m → N 80.058050°
E 40.100097°		 →
↑
421.95 m
↓
↑
421.95 m
↓
N 80.054255°
E 40.078125°		 ← 421.98 m →
178 022 m²		 N 80.054255°
E 40.100097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611358642578125 y=0.111358642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611358642578125 × 214)
    floor (0.611358642578125 × 16384)
    floor (10016.5)     		tx = 10016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111358642578125 × 214)
    floor (0.111358642578125 × 16384)
    floor (1824.5)     		ty = 1824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10016 / 1824 ti = "14/10016/1824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10016/1824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10016 ÷ 214
    10016 ÷ 16384     		x = 0.611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1824 ÷ 214
    1824 ÷ 16384     		y = 0.111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611328125 × 2 - 1) × π
    0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111328125 × 2 - 1) × π
    0.77734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44209741424414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69949524} λ = 0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44209741424414))-π/2
    2×atan(11.4971297153185)-π/2
    2×1.48403644218364-π/2
    2.96807288436728-1.57079632675     		φ = 1.39727656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39727656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.058050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10016 KachelY 1824 0.69949524 1.39727656 40.078125 80.058050
    Oben rechts KachelX + 1 10017 KachelY 1824 0.69987873 1.39727656 40.100097 80.058050
    Unten links KachelX 10016 KachelY + 1 1825 0.69949524 1.39721033 40.078125 80.054255
    Unten rechts KachelX + 1 10017 KachelY + 1 1825 0.69987873 1.39721033 40.100097 80.054255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39727656-1.39721033) × R
    6.62299999998339e-05 × 6371000     		dl = 421.951329998942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39727656-1.39721033) × R
    6.62299999998339e-05 × 6371000     		dr = 421.951329998942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69949524-0.69987873) × cos(1.39727656) × R
    0.000383490000000042 × 0.172650322461766 × 6371000     		do = 421.821821336902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69949524-0.69987873) × cos(1.39721033) × R
    0.000383490000000042 × 0.172715557519114 × 6371000     		du = 421.981204593842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39727656)-sin(1.39721033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172650322461766-0.172715557519114)×R²
    abs(0.69987873-0.69949524)×6.52350573484839e-05×R²
    0.000383490000000042×6.52350573484839e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.52350573484839e-05×40589641000000     		ar = 178021.904589103m²