Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100351 / 100352
↖ ↑ ↗
← S 68.656555°
E 95.622253°		 ← 111.16 m → S 68.656555°
E 95.625000°		 →
↑
111.11 m
↓
↑
111.11 m
↓
S 68.657554°
E 95.622253°		 ← 111.16 m →
12 351 m²		 S 68.657554°
E 95.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765621185302734 y=0.765628814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765621185302734 × 217)
    floor (0.765621185302734 × 131072)
    floor (100351.5)     		tx = 100351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765628814697266 × 217)
    floor (0.765628814697266 × 131072)
    floor (100352.5)     		ty = 100352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100351 / 100352 ti = "17/100351/100352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100351/100352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100351 ÷ 217
    100351 ÷ 131072     		x = 0.765617370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100352 ÷ 217
    100352 ÷ 131072     		y = 0.765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765617370605469 × 2 - 1) × π
    0.531234741210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.66892316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765625 × 2 - 1) × π
    -0.53125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66892316} λ = 1.66892316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66897109717187))-π/2
    2×atan(0.188440853254186)-π/2
    2×0.186256694625859-π/2
    0.372513389251717-1.57079632675     		φ = -1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66892316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.622253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100351 KachelY 100352 1.66892316 -1.19828294 95.622253 -68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 100352 KachelY 100352 1.66897110 -1.19828294 95.625000 -68.656555
    Unten links KachelX 100351 KachelY + 1 100353 1.66892316 -1.19830038 95.622253 -68.657554
    Unten rechts KachelX + 1 100352 KachelY + 1 100353 1.66897110 -1.19830038 95.625000 -68.657554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19828294--1.19830038) × R
    1.74400000001462e-05 × 6371000     		dl = 111.110240000932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19828294--1.19830038) × R
    1.74400000001462e-05 × 6371000     		dr = 111.110240000932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66892316-1.66897110) × cos(-1.19828294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 111.162015201973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66892316-1.66897110) × cos(-1.19830038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36394134261252 × 6371000     		du = 111.15705388395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19828294)-sin(-1.19830038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.36394134261252)×R²
    abs(1.66897110-1.66892316)×1.6243942057792e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6243942057792e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6243942057792e-05×40589641000000     		ar = 12350.962561781m²