Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100480 / 100480
↖ ↑ ↗
← S 68.784144°
E 95.976562°		 ← 110.53 m → S 68.784144°
E 95.979309°		 →
↑
110.54 m
↓
↑
110.54 m
↓
S 68.785138°
E 95.976562°		 ← 110.52 m →
12 217 m²		 S 68.785138°
E 95.979309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766605377197266 y=0.766605377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766605377197266 × 217)
    floor (0.766605377197266 × 131072)
    floor (100480.5)     		tx = 100480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766605377197266 × 217)
    floor (0.766605377197266 × 131072)
    floor (100480.5)     		ty = 100480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100480 / 100480 ti = "17/100480/100480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100480/100480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100480 ÷ 217
    100480 ÷ 131072     		x = 0.7666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100480 ÷ 217
    100480 ÷ 131072     		y = 0.7666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    0.533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67510702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    -0.533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67510702032324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67510702} λ = 1.67510702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67510702032324))-π/2
    2×atan(0.187288134772658)-π/2
    2×0.1851432723394-π/2
    0.370286544678801-1.57079632675     		φ = -1.20050978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67510702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20050978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.784144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100480 KachelY 100480 1.67510702 -1.20050978 95.976562 -68.784144
    Oben rechts KachelX + 1 100481 KachelY 100480 1.67515496 -1.20050978 95.979309 -68.784144
    Unten links KachelX 100480 KachelY + 1 100481 1.67510702 -1.20052713 95.976562 -68.785138
    Unten rechts KachelX + 1 100481 KachelY + 1 100481 1.67515496 -1.20052713 95.979309 -68.785138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20050978--1.20052713) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dl = 110.536850000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20050978--1.20052713) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dr = 110.536850000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67510702-1.67515496) × cos(-1.20050978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361882572528031 × 6371000     		do = 110.528252507405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67510702-1.67515496) × cos(-1.20052713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361866398392585 × 6371000     		du = 110.523312510118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20050978)-sin(-1.20052713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361882572528031-0.361866398392585)×R²
    abs(1.67515496-1.67510702)×1.61741354463008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61741354463008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61741354463008e-05×40589641000000     		ar = 12217.1718426869m²