Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100608 / 100608
↖ ↑ ↗
← S 68.911005°
E 96.328125°		 ← 109.90 m → S 68.911005°
E 96.330872°		 →
↑
109.84 m
↓
↑
109.84 m
↓
S 68.911993°
E 96.328125°		 ← 109.89 m →
12 070 m²		 S 68.911993°
E 96.330872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767581939697266 y=0.767581939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767581939697266 × 217)
    floor (0.767581939697266 × 131072)
    floor (100608.5)     		tx = 100608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767581939697266 × 217)
    floor (0.767581939697266 × 131072)
    floor (100608.5)     		ty = 100608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100608 / 100608 ti = "17/100608/100608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100608/100608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100608 ÷ 217
    100608 ÷ 131072     		x = 0.767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100608 ÷ 217
    100608 ÷ 131072     		y = 0.767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767578125 × 2 - 1) × π
    0.53515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68124294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767578125 × 2 - 1) × π
    -0.53515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68124294347461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68124294} λ = 1.68124294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68124294347461))-π/2
    2×atan(0.186142467627794)-π/2
    2×0.184036200699174-π/2
    0.368072401398348-1.57079632675     		φ = -1.20272393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68124294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20272393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.911005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100608 KachelY 100608 1.68124294 -1.20272393 96.328125 -68.911005
    Oben rechts KachelX + 1 100609 KachelY 100608 1.68129088 -1.20272393 96.330872 -68.911005
    Unten links KachelX 100608 KachelY + 1 100609 1.68124294 -1.20274117 96.328125 -68.911993
    Unten rechts KachelX + 1 100609 KachelY + 1 100609 1.68129088 -1.20274117 96.330872 -68.911993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20272393--1.20274117) × R
    1.72399999998074e-05 × 6371000     		dl = 109.836039998773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20272393--1.20274117) × R
    1.72399999998074e-05 × 6371000     		dr = 109.836039998773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68124294-1.68129088) × cos(-1.20272393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359817604079576 × 6371000     		do = 109.897557990959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68124294-1.68129088) × cos(-1.20274117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359801518715375 × 6371000     		du = 109.892645106695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20272393)-sin(-1.20274117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359817604079576-0.359801518715375)×R²
    abs(1.68129088-1.68124294)×1.60853642008352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60853642008352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60853642008352e-05×40589641000000     		ar = 12070.4427697931m²