Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1007 / 1009
↖ ↑ ↗
← N  2.635789°
W  2.988281°		 ← 19.525 km → N  2.635789°
W  2.812500°		 →
↑
19.527 km
↓
↑
19.527 km
↓
N  2.460181°
W  2.988281°		 ← 19.528 km →
381.290 km²		 N  2.460181°
W  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491943359375 y=0.492919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491943359375 × 211)
    floor (0.491943359375 × 2048)
    floor (1007.5)     		tx = 1007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492919921875 × 211)
    floor (0.492919921875 × 2048)
    floor (1009.5)     		ty = 1009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1007 / 1009 ti = "11/1007/1009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1007/1009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1007 ÷ 211
    1007 ÷ 2048     		x = 0.49169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1009 ÷ 211
    1009 ÷ 2048     		y = 0.49267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05215535} λ = -0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0460194236352539))-π/2
    2×atan(1.0470947491459)-π/2
    2×0.808399757899618-π/2
    1.61679951579924-1.57079632675     		φ = 0.04600319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04600319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.635789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1007 KachelY 1009 -0.05215535 0.04600319 -2.988281 2.635789
    Oben rechts KachelX + 1 1008 KachelY 1009 -0.04908739 0.04600319 -2.812500 2.635789
    Unten links KachelX 1007 KachelY + 1 1010 -0.05215535 0.04293826 -2.988281 2.460181
    Unten rechts KachelX + 1 1008 KachelY + 1 1010 -0.04908739 0.04293826 -2.812500 2.460181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04600319-0.04293826) × R
    0.00306493 × 6371000     		dl = 19526.66903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04600319-0.04293826) × R
    0.00306493 × 6371000     		dr = 19526.66903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05215535--0.04908739) × cos(0.04600319) × R
    0.00306796 × 0.998942039854171 × 6371000     		do = 19525.2942993853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05215535--0.04908739) × cos(0.04293826) × R
    0.00306796 × 0.999078294539057 × 6371000     		du = 19527.957529799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04600319)-sin(0.04293826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998942039854171-0.999078294539057)×R²
    abs(-0.04908739--0.05215535)×0.000136254684886539×R²
    0.00306796×0.000136254684886539×6371000²
    0.00306796×0.000136254684886539×40589641000000     		ar = 381290259.987149m²