Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 101 / 163
↖ ↑ ↗
← S 44.087585°
W 37.968750°		 ← 112.315 km → S 44.087585°
W 36.562500°		 →
↑
111.356 km
↓
↑
111.356 km
↓
S 45.089036°
W 37.968750°		 ← 110.397 km →
12 400.5 km²		 S 45.089036°
W 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.396484375 y=0.638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.396484375 × 28)
    floor (0.396484375 × 256)
    floor (101.5)     		tx = 101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638671875 × 28)
    floor (0.638671875 × 256)
    floor (163.5)     		ty = 163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 101 / 163 ti = "8/101/163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/101/163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101 ÷ 28
    101 ÷ 256     		x = 0.39453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 163 ÷ 28
    163 ÷ 256     		y = 0.63671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39453125 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63671875 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66267970} λ = -0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859029241191406))-π/2
    2×atan(0.423573070089346)-π/2
    2×0.400661404408348-π/2
    0.801322808816697-1.57079632675     		φ = -0.76947352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76947352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.087585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101 KachelY 163 -0.66267970 -0.76947352 -37.968750 -44.087585
    Oben rechts KachelX + 1 102 KachelY 163 -0.63813601 -0.76947352 -36.562500 -44.087585
    Unten links KachelX 101 KachelY + 1 164 -0.66267970 -0.78695213 -37.968750 -45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 102 KachelY + 1 164 -0.63813601 -0.78695213 -36.562500 -45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76947352--0.78695213) × R
    0.01747861 × 6371000     		dl = 111356.22431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76947352--0.78695213) × R
    0.01747861 × 6371000     		dr = 111356.22431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66267970--0.63813601) × cos(-0.76947352) × R
    0.02454369 × 0.71827707137878 × 6371000     		do = 112315.440630337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66267970--0.63813601) × cos(-0.78695213) × R
    0.02454369 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 110396.812777919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76947352)-sin(-0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71827707137878-0.706007107541517)×R²
    abs(-0.63813601--0.66267970)×0.0122699638372632×R²
    0.02454369×0.0122699638372632×6371000²
    0.02454369×0.0122699638372632×40589641000000     		ar = 12400513523.4397m²