Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1010 / 1010
↖ ↑ ↗
← N  2.460181°
W  2.460937°		 ← 19.528 km → N  2.460181°
W  2.285156°		 →
↑
19.529 km
↓
↑
19.529 km
↓
N  2.284551°
W  2.460937°		 ← 19.530 km →
381.390 km²		 N  2.284551°
W  2.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.493408203125 y=0.493408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.493408203125 × 211)
    floor (0.493408203125 × 2048)
    floor (1010.5)     		tx = 1010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493408203125 × 211)
    floor (0.493408203125 × 2048)
    floor (1010.5)     		ty = 1010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1010 / 1010 ti = "11/1010/1010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1010/1010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1010 ÷ 211
    1010 ÷ 2048     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1010 ÷ 211
    1010 ÷ 2048     		y = 0.4931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0429514620595703))-π/2
    2×atan(1.04388722548496)-π/2
    2×0.806867294299045-π/2
    1.61373458859809-1.57079632675     		φ = 0.04293826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04293826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.460181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1010 KachelY 1010 -0.04295146 0.04293826 -2.460937 2.460181
    Oben rechts KachelX + 1 1011 KachelY 1010 -0.03988350 0.04293826 -2.285156 2.460181
    Unten links KachelX 1010 KachelY + 1 1011 -0.04295146 0.03987293 -2.460937 2.284551
    Unten rechts KachelX + 1 1011 KachelY + 1 1011 -0.03988350 0.03987293 -2.285156 2.284551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04293826-0.03987293) × R
    0.00306533 × 6371000     		dl = 19529.21743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04293826-0.03987293) × R
    0.00306533 × 6371000     		dr = 19529.21743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.03988350) × cos(0.04293826) × R
    0.00306795999999999 × 0.999078294539057 × 6371000     		do = 19527.957529799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.03988350) × cos(0.03987293) × R
    0.00306795999999999 × 0.999205180038725 × 6371000     		du = 19530.4376303698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04293826)-sin(0.03987293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999078294539057-0.999205180038725)×R²
    abs(-0.03988350--0.04295146)×0.000126885499667662×R²
    0.00306795999999999×0.000126885499667662×6371000²
    0.00306795999999999×0.000126885499667662×40589641000000     		ar = 381390244.411388m²