Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101376 / 35840
↖ ↑ ↗
← N 62.915233°
E 98.437500°		 ← 139.06 m → N 62.915233°
E 98.440247°		 →
↑
139.08 m
↓
↑
139.08 m
↓
N 62.913982°
E 98.437500°		 ← 139.07 m →
19 341 m²		 N 62.913982°
E 98.440247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773441314697266 y=0.273441314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773441314697266 × 217)
    floor (0.773441314697266 × 131072)
    floor (101376.5)     		tx = 101376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273441314697266 × 217)
    floor (0.273441314697266 × 131072)
    floor (35840.5)     		ty = 35840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101376 / 35840 ti = "17/101376/35840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101376/35840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101376 ÷ 217
    101376 ÷ 131072     		x = 0.7734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35840 ÷ 217
    35840 ÷ 131072     		y = 0.2734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7734375 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2734375 × 2 - 1) × π
    0.453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71805848} λ = 1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42353417111719))-π/2
    2×atan(4.15176759935729)-π/2
    2×1.33443714648737-π/2
    2.66887429297475-1.57079632675     		φ = 1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101376 KachelY 35840 1.71805848 1.09807797 98.437500 62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 101377 KachelY 35840 1.71810642 1.09807797 98.440247 62.915233
    Unten links KachelX 101376 KachelY + 1 35841 1.71805848 1.09805614 98.437500 62.913982
    Unten rechts KachelX + 1 101377 KachelY + 1 35841 1.71810642 1.09805614 98.440247 62.913982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09807797-1.09805614) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dl = 139.07893000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09807797-1.09805614) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dr = 139.07893000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71805848-1.71810642) × cos(1.09807797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 139.062846911098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71805848-1.71810642) × cos(1.09805614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455327645696513 × 6371000     		du = 139.068783129224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09807797)-sin(1.09805614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.455327645696513)×R²
    abs(1.71810642-1.71805848)×1.94358803092265e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94358803092265e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94358803092265e-05×40589641000000     		ar = 19341.1247533736m²