Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1016 / 1048
↖ ↑ ↗
← S  4.214943°
W  1.406250°		 ← 19.493 km → S  4.214943°
W  1.230469°		 →
↑
19.491 km
↓
↑
19.491 km
↓
S  4.390229°
W  1.406250°		 ← 19.489 km →
379.894 km²		 S  4.390229°
W  1.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496337890625 y=0.511962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496337890625 × 211)
    floor (0.496337890625 × 2048)
    floor (1016.5)     		tx = 1016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511962890625 × 211)
    floor (0.511962890625 × 2048)
    floor (1048.5)     		ty = 1048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1016 / 1048 ti = "11/1016/1048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1016/1048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1016 ÷ 211
    1016 ÷ 2048     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1048 ÷ 211
    1048 ÷ 2048     		y = 0.51171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51171875 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0736310778164063))-π/2
    2×atan(0.929014364635963)-π/2
    2×0.748615845597688-π/2
    1.49723169119538-1.57079632675     		φ = -0.07356464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07356464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.214943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1016 KachelY 1048 -0.02454369 -0.07356464 -1.406250 -4.214943
    Oben rechts KachelX + 1 1017 KachelY 1048 -0.02147573 -0.07356464 -1.230469 -4.214943
    Unten links KachelX 1016 KachelY + 1 1049 -0.02454369 -0.07662395 -1.406250 -4.390229
    Unten rechts KachelX + 1 1017 KachelY + 1 1049 -0.02147573 -0.07662395 -1.230469 -4.390229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07356464--0.07662395) × R
    0.00305931 × 6371000     		dl = 19490.86401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07356464--0.07662395) × R
    0.00305931 × 6371000     		dr = 19490.86401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02147573) × cos(-0.07356464) × R
    0.00306796 × 0.9972953419468 × 6371000     		do = 19493.1079862852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02147573) × cos(-0.07662395) × R
    0.00306796 × 0.997065821167897 × 6371000     		du = 19488.6217793011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07356464)-sin(-0.07662395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9972953419468-0.997065821167897)×R²
    abs(-0.02147573--0.02454369)×0.000229520778903147×R²
    0.00306796×0.000229520778903147×6371000²
    0.00306796×0.000229520778903147×40589641000000     		ar = 379894093.165542m²