Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10175 / 2239
↖ ↑ ↗
← N 78.353847°
E 43.571778°		 ← 493.20 m → N 78.353847°
E 43.593750°		 →
↑
493.31 m
↓
↑
493.31 m
↓
N 78.349410°
E 43.571778°		 ← 493.39 m →
243 347 m²		 N 78.349410°
E 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621063232421875 y=0.136688232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621063232421875 × 214)
    floor (0.621063232421875 × 16384)
    floor (10175.5)     		tx = 10175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136688232421875 × 214)
    floor (0.136688232421875 × 16384)
    floor (2239.5)     		ty = 2239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10175 / 2239 ti = "14/10175/2239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10175/2239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10175 ÷ 214
    10175 ÷ 16384     		x = 0.62103271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2239 ÷ 214
    2239 ÷ 16384     		y = 0.13665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62103271484375 × 2 - 1) × π
    0.2420654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76047098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13665771484375 × 2 - 1) × π
    0.7266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28294690750555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76047098} λ = 0.76047098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28294690750555))-π/2
    2×atan(9.80553387577435)-π/2
    2×1.469164469929-π/2
    2.93832893985799-1.57079632675     		φ = 1.36753261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76047098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.571778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36753261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.353847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10175 KachelY 2239 0.76047098 1.36753261 43.571778 78.353847
    Oben rechts KachelX + 1 10176 KachelY 2239 0.76085447 1.36753261 43.593750 78.353847
    Unten links KachelX 10175 KachelY + 1 2240 0.76047098 1.36745518 43.571778 78.349410
    Unten rechts KachelX + 1 10176 KachelY + 1 2240 0.76085447 1.36745518 43.593750 78.349410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36753261-1.36745518) × R
    7.74299999999339e-05 × 6371000     		dl = 493.306529999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36753261-1.36745518) × R
    7.74299999999339e-05 × 6371000     		dr = 493.306529999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76047098-0.76085447) × cos(1.36753261) × R
    0.000383489999999931 × 0.201866926769926 × 6371000     		do = 493.204261096041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76047098-0.76085447) × cos(1.36745518) × R
    0.000383489999999931 × 0.201942762110113 × 6371000     		du = 493.389543120791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36753261)-sin(1.36745518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201866926769926-0.201942762110113)×R²
    abs(0.76085447-0.76047098)×7.58353401874856e-05×R²
    0.000383489999999931×7.58353401874856e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.58353401874856e-05×40589641000000     		ar = 243346.583159699m²