Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10176 / 2240
↖ ↑ ↗
← N 78.349410°
E 43.593750°		 ← 493.40 m → N 78.349410°
E 43.615723°		 →
↑
493.50 m
↓
↑
493.50 m
↓
N 78.344972°
E 43.593750°		 ← 493.59 m →
243 539 m²		 N 78.344972°
E 43.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621124267578125 y=0.136749267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621124267578125 × 214)
    floor (0.621124267578125 × 16384)
    floor (10176.5)     		tx = 10176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136749267578125 × 214)
    floor (0.136749267578125 × 16384)
    floor (2240.5)     		ty = 2240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10176 / 2240 ti = "14/10176/2240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10176/2240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10176 ÷ 214
    10176 ÷ 16384     		x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2240 ÷ 214
    2240 ÷ 16384     		y = 0.13671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13671875 × 2 - 1) × π
    0.7265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28256341230859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28256341230859))-π/2
    2×atan(9.80177422158009)-π/2
    2×1.46912575516101-π/2
    2.93825151032202-1.57079632675     		φ = 1.36745518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36745518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.349410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10176 KachelY 2240 0.76085447 1.36745518 43.593750 78.349410
    Oben rechts KachelX + 1 10177 KachelY 2240 0.76123797 1.36745518 43.615723 78.349410
    Unten links KachelX 10176 KachelY + 1 2241 0.76085447 1.36737772 43.593750 78.344972
    Unten rechts KachelX + 1 10177 KachelY + 1 2241 0.76123797 1.36737772 43.615723 78.344972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36745518-1.36737772) × R
    7.74600000001957e-05 × 6371000     		dl = 493.497660001247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36745518-1.36737772) × R
    7.74600000001957e-05 × 6371000     		dr = 493.497660001247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.76123797) × cos(1.36745518) × R
    0.000383500000000092 × 0.201942762110113 × 6371000     		do = 493.402408894373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.76123797) × cos(1.36737772) × R
    0.000383500000000092 × 0.202018625621023 × 6371000     		du = 493.587764579513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36745518)-sin(1.36737772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201942762110113-0.202018625621023)×R²
    abs(0.76123797-0.76085447)×7.58635109096295e-05×R²
    0.000383500000000092×7.58635109096295e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.58635109096295e-05×40589641000000     		ar = 243538.670648386m²