Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10176 / 6080
↖ ↑ ↗
← N 42.032975°
E 43.593750°		 ← 1 814.77 m → N 42.032975°
E 43.615723°		 →
↑
1 814.97 m
↓
↑
1 814.97 m
↓
N 42.016652°
E 43.593750°		 ← 1 815.23 m →
3 294 174 m²		 N 42.016652°
E 43.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621124267578125 y=0.371124267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621124267578125 × 214)
    floor (0.621124267578125 × 16384)
    floor (10176.5)     		tx = 10176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.371124267578125 × 214)
    floor (0.371124267578125 × 16384)
    floor (6080.5)     		ty = 6080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10176 / 6080 ti = "14/10176/6080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10176/6080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10176 ÷ 214
    10176 ÷ 16384     		x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6080 ÷ 214
    6080 ÷ 16384     		y = 0.37109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37109375 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.809941855980469))-π/2
    2×atan(2.2477772880703)-π/2
    2×1.15220506164254-π/2
    2.30441012328507-1.57079632675     		φ = 0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10176 KachelY 6080 0.76085447 0.73361380 43.593750 42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 10177 KachelY 6080 0.76123797 0.73361380 43.615723 42.032975
    Unten links KachelX 10176 KachelY + 1 6081 0.76085447 0.73332892 43.593750 42.016652
    Unten rechts KachelX + 1 10177 KachelY + 1 6081 0.76123797 0.73332892 43.615723 42.016652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73361380-0.73332892) × R
    0.000284879999999932 × 6371000     		dl = 1814.97047999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73361380-0.73332892) × R
    0.000284879999999932 × 6371000     		dr = 1814.97047999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.76123797) × cos(0.73361380) × R
    0.000383500000000092 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 1814.76858159717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.76123797) × cos(0.73332892) × R
    0.000383500000000092 × 0.74295032188077 × 6371000     		du = 1815.2345480198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73361380)-sin(0.73332892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.74295032188077)×R²
    abs(0.76123797-0.76085447)×0.000190713593489877×R²
    0.000383500000000092×0.000190713593489877×6371000²
    0.000383500000000092×0.000190713593489877×40589641000000     		ar = 3294174.28355786m²