Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10177 / 2241
↖ ↑ ↗
← N 78.344972°
E 43.615723°		 ← 493.57 m → N 78.344972°
E 43.637695°		 →
↑
493.63 m
↓
↑
493.63 m
↓
N 78.340533°
E 43.615723°		 ← 493.76 m →
243 687 m²		 N 78.340533°
E 43.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621185302734375 y=0.136810302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621185302734375 × 214)
    floor (0.621185302734375 × 16384)
    floor (10177.5)     		tx = 10177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136810302734375 × 214)
    floor (0.136810302734375 × 16384)
    floor (2241.5)     		ty = 2241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10177 / 2241 ti = "14/10177/2241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10177/2241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10177 ÷ 214
    10177 ÷ 16384     		x = 0.62115478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2241 ÷ 214
    2241 ÷ 16384     		y = 0.13677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62115478515625 × 2 - 1) × π
    0.2423095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76123797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13677978515625 × 2 - 1) × π
    0.7264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28217991711163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76123797} λ = 0.76123797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28217991711163))-π/2
    2×atan(9.79801600891874)-π/2
    2×1.46908702584925-π/2
    2.9381740516985-1.57079632675     		φ = 1.36737772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76123797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36737772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.344972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10177 KachelY 2241 0.76123797 1.36737772 43.615723 78.344972
    Oben rechts KachelX + 1 10178 KachelY 2241 0.76162146 1.36737772 43.637695 78.344972
    Unten links KachelX 10177 KachelY + 1 2242 0.76123797 1.36730024 43.615723 78.340533
    Unten rechts KachelX + 1 10178 KachelY + 1 2242 0.76162146 1.36730024 43.637695 78.340533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36737772-1.36730024) × R
    7.74799999998521e-05 × 6371000     		dl = 493.625079999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36737772-1.36730024) × R
    7.74799999998521e-05 × 6371000     		dr = 493.625079999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76123797-0.76162146) × cos(1.36737772) × R
    0.000383489999999931 × 0.202018625621023 × 6371000     		do = 493.574893972667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76123797-0.76162146) × cos(1.36730024) × R
    0.000383489999999931 × 0.20209450750713 × 6371000     		du = 493.760289719098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36737772)-sin(1.36730024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202018625621023-0.20209450750713)×R²
    abs(0.76162146-0.76123797)×7.58818861076316e-05×R²
    0.000383489999999931×7.58818861076316e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.58818861076316e-05×40589641000000     		ar = 243686.704639001m²