Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 102 / 158
↖ ↑ ↗
← S 38.822591°
W 36.562500°		 ← 121.825 km → S 38.822591°
W 35.156250°		 →
↑
120.885 km
↓
↑
120.885 km
↓
S 39.909736°
W 36.562500°		 ← 119.943 km →
14 613.5 km²		 S 39.909736°
W 35.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.400390625 y=0.619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.400390625 × 28)
    floor (0.400390625 × 256)
    floor (102.5)     		tx = 102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619140625 × 28)
    floor (0.619140625 × 256)
    floor (158.5)     		ty = 158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 102 / 158 ti = "8/102/158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/102/158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102 ÷ 28
    102 ÷ 256     		x = 0.3984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 158 ÷ 28
    158 ÷ 256     		y = 0.6171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3984375 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6171875 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63813601} λ = -0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736310778164063))-π/2
    2×atan(0.478877345438407)-π/2
    2×0.446607145060981-π/2
    0.893214290121963-1.57079632675     		φ = -0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102 KachelY 158 -0.63813601 -0.67758204 -36.562500 -38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 103 KachelY 158 -0.61359232 -0.67758204 -35.156250 -38.822591
    Unten links KachelX 102 KachelY + 1 159 -0.63813601 -0.69655630 -36.562500 -39.909736
    Unten rechts KachelX + 1 103 KachelY + 1 159 -0.61359232 -0.69655630 -35.156250 -39.909736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67758204--0.69655630) × R
    0.01897426 × 6371000     		dl = 120885.01046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67758204--0.69655630) × R
    0.01897426 × 6371000     		dr = 120885.01046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63813601--0.61359232) × cos(-0.67758204) × R
    0.02454369 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 121824.758912363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63813601--0.61359232) × cos(-0.69655630) × R
    0.02454369 × 0.767056140195237 × 6371000     		du = 119942.918696901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67758204)-sin(-0.69655630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.767056140195237)×R²
    abs(-0.61359232--0.63813601)×0.0120347004043153×R²
    0.02454369×0.0120347004043153×6371000²
    0.02454369×0.0120347004043153×40589641000000     		ar = 14613482552.9024m²