Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1020 / 3068
↖ ↑ ↗
← N 41.112469°
W135.175781°		 ← 3 681.58 m → N 41.112469°
W135.131836°		 →
↑
3 682.50 m
↓
↑
3 682.50 m
↓
N 41.079351°
W135.175781°		 ← 3 683.44 m →
13 560 856 m²		 N 41.079351°
W135.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12457275390625 y=0.37457275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12457275390625 × 213)
    floor (0.12457275390625 × 8192)
    floor (1020.5)     		tx = 1020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37457275390625 × 213)
    floor (0.37457275390625 × 8192)
    floor (3068.5)     		ty = 3068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1020 / 3068 ti = "13/1020/3068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1020/3068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1020 ÷ 213
    1020 ÷ 8192     		x = 0.12451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3068 ÷ 213
    3068 ÷ 8192     		y = 0.37451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12451171875 × 2 - 1) × π
    -0.7509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35926245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.788466124950684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35926245} λ = -2.35926245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.788466124950684))-π/2
    2×atan(2.20001928217461)-π/2
    2×1.14417213538627-π/2
    2.28834427077253-1.57079632675     		φ = 0.71754794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35926245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71754794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.112469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1020 KachelY 3068 -2.35926245 0.71754794 -135.175781 41.112469
    Oben rechts KachelX + 1 1021 KachelY 3068 -2.35849546 0.71754794 -135.131836 41.112469
    Unten links KachelX 1020 KachelY + 1 3069 -2.35926245 0.71696993 -135.175781 41.079351
    Unten rechts KachelX + 1 1021 KachelY + 1 3069 -2.35849546 0.71696993 -135.131836 41.079351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71754794-0.71696993) × R
    0.000578010000000018 × 6371000     		dl = 3682.50171000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71754794-0.71696993) × R
    0.000578010000000018 × 6371000     		dr = 3682.50171000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35926245--2.35849546) × cos(0.71754794) × R
    0.000766990000000245 × 0.753420318147633 × 6371000     		do = 3681.58332917925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35926245--2.35849546) × cos(0.71696993) × R
    0.000766990000000245 × 0.753800256513115 × 6371000     		du = 3683.43989545279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71754794)-sin(0.71696993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753420318147633-0.753800256513115)×R²
    abs(-2.35849546--2.35926245)×0.000379938365482113×R²
    0.000766990000000245×0.000379938365482113×6371000²
    0.000766990000000245×0.000379938365482113×40589641000000     		ar = 13560855.6869987m²