Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10212 / 2148
↖ ↑ ↗
← N 78.750659°
E 44.384766°		 ← 476.62 m → N 78.750659°
E 44.406738°		 →
↑
476.74 m
↓
↑
476.74 m
↓
N 78.746372°
E 44.384766°		 ← 476.80 m →
227 267 m²		 N 78.746372°
E 44.406738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623321533203125 y=0.131134033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623321533203125 × 214)
    floor (0.623321533203125 × 16384)
    floor (10212.5)     		tx = 10212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131134033203125 × 214)
    floor (0.131134033203125 × 16384)
    floor (2148.5)     		ty = 2148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10212 / 2148 ti = "14/10212/2148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10212/2148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10212 ÷ 214
    10212 ÷ 16384     		x = 0.623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2148 ÷ 214
    2148 ÷ 16384     		y = 0.131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623291015625 × 2 - 1) × π
    0.24658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77466030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131103515625 × 2 - 1) × π
    0.73779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31784497042895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77466030} λ = 0.77466030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31784497042895))-π/2
    2×atan(10.1537690387654)-π/2
    2×1.47262730749143-π/2
    2.94525461498286-1.57079632675     		φ = 1.37445829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77466030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37445829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.750659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10212 KachelY 2148 0.77466030 1.37445829 44.384766 78.750659
    Oben rechts KachelX + 1 10213 KachelY 2148 0.77504379 1.37445829 44.406738 78.750659
    Unten links KachelX 10212 KachelY + 1 2149 0.77466030 1.37438346 44.384766 78.746372
    Unten rechts KachelX + 1 10213 KachelY + 1 2149 0.77504379 1.37438346 44.406738 78.746372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37445829-1.37438346) × R
    7.48299999999702e-05 × 6371000     		dl = 476.74192999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37445829-1.37438346) × R
    7.48299999999702e-05 × 6371000     		dr = 476.74192999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77466030-0.77504379) × cos(1.37445829) × R
    0.000383490000000042 × 0.195079038995934 × 6371000     		do = 476.619993293906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77466030-0.77504379) × cos(1.37438346) × R
    0.000383490000000042 × 0.195152430780161 × 6371000     		du = 476.799305186594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37445829)-sin(1.37438346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195079038995934-0.195152430780161)×R²
    abs(0.77504379-0.77466030)×7.33917842270226e-05×R²
    0.000383490000000042×7.33917842270226e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.33917842270226e-05×40589641000000     		ar = 227267.478335441m²