Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10223 / 2031
↖ ↑ ↗
← N 79.241287°
E 44.626465°		 ← 456.08 m → N 79.241287°
E 44.648437°		 →
↑
456.16 m
↓
↑
456.16 m
↓
N 79.237185°
E 44.626465°		 ← 456.26 m →
208 088 m²		 N 79.237185°
E 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623992919921875 y=0.123992919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623992919921875 × 214)
    floor (0.623992919921875 × 16384)
    floor (10223.5)     		tx = 10223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123992919921875 × 214)
    floor (0.123992919921875 × 16384)
    floor (2031.5)     		ty = 2031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10223 / 2031 ti = "14/10223/2031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10223/2031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10223 ÷ 214
    10223 ÷ 16384     		x = 0.62396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2031 ÷ 214
    2031 ÷ 16384     		y = 0.12396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62396240234375 × 2 - 1) × π
    0.2479248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77887875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12396240234375 × 2 - 1) × π
    0.7520751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36271390847333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77887875} λ = 0.77887875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36271390847333))-π/2
    2×atan(10.6197333633915)-π/2
    2×1.47690884850024-π/2
    2.95381769700048-1.57079632675     		φ = 1.38302137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77887875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38302137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.241287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10223 KachelY 2031 0.77887875 1.38302137 44.626465 79.241287
    Oben rechts KachelX + 1 10224 KachelY 2031 0.77926224 1.38302137 44.648437 79.241287
    Unten links KachelX 10223 KachelY + 1 2032 0.77887875 1.38294977 44.626465 79.237185
    Unten rechts KachelX + 1 10224 KachelY + 1 2032 0.77926224 1.38294977 44.648437 79.237185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38302137-1.38294977) × R
    7.16000000000605e-05 × 6371000     		dl = 456.163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38302137-1.38294977) × R
    7.16000000000605e-05 × 6371000     		dr = 456.163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77887875-0.77926224) × cos(1.38302137) × R
    0.000383490000000042 × 0.186673427425948 × 6371000     		do = 456.083278787117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77887875-0.77926224) × cos(1.38294977) × R
    0.000383490000000042 × 0.186743768364246 × 6371000     		du = 456.25513680791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38302137)-sin(1.38294977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186673427425948-0.186743768364246)×R²
    abs(0.77926224-0.77887875)×7.03409382984133e-05×R²
    0.000383490000000042×7.03409382984133e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.03409382984133e-05×40589641000000     		ar = 208087.788125999m²