Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10232 / 2073
↖ ↑ ↗
← N 79.067646°
E 44.824219°		 ← 463.37 m → N 79.067646°
E 44.846192°		 →
↑
463.43 m
↓
↑
463.43 m
↓
N 79.063478°
E 44.824219°		 ← 463.54 m →
214 777 m²		 N 79.063478°
E 44.846192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624542236328125 y=0.126556396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624542236328125 × 214)
    floor (0.624542236328125 × 16384)
    floor (10232.5)     		tx = 10232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126556396484375 × 214)
    floor (0.126556396484375 × 16384)
    floor (2073.5)     		ty = 2073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10232 / 2073 ti = "14/10232/2073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10232/2073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10232 ÷ 214
    10232 ÷ 16384     		x = 0.62451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2073 ÷ 214
    2073 ÷ 16384     		y = 0.12652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12652587890625 × 2 - 1) × π
    0.7469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34660711020099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78233020} λ = 0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34660711020099))-π/2
    2×atan(10.4500536273449)-π/2
    2×1.47539353790286-π/2
    2.95078707580573-1.57079632675     		φ = 1.37999075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37999075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.067646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10232 KachelY 2073 0.78233020 1.37999075 44.824219 79.067646
    Oben rechts KachelX + 1 10233 KachelY 2073 0.78271370 1.37999075 44.846192 79.067646
    Unten links KachelX 10232 KachelY + 1 2074 0.78233020 1.37991801 44.824219 79.063478
    Unten rechts KachelX + 1 10233 KachelY + 1 2074 0.78271370 1.37991801 44.846192 79.063478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37999075-1.37991801) × R
    7.27400000000156e-05 × 6371000     		dl = 463.426540000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37999075-1.37991801) × R
    7.27400000000156e-05 × 6371000     		dr = 463.426540000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78233020-0.78271370) × cos(1.37999075) × R
    0.000383499999999981 × 0.189649913434877 × 6371000     		do = 463.367556022274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78233020-0.78271370) × cos(1.37991801) × R
    0.000383499999999981 × 0.189721332831283 × 6371000     		du = 463.542053497994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37999075)-sin(1.37991801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189649913434877-0.189721332831283)×R²
    abs(0.78271370-0.78233020)×7.14193964053422e-05×R²
    0.000383499999999981×7.14193964053422e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.14193964053422e-05×40589641000000     		ar = 214777.256710637m²