Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10232 / 6136
↖ ↑ ↗
← N 41.112469°
E 44.824219°		 ← 1 840.82 m → N 41.112469°
E 44.846192°		 →
↑
1 841.03 m
↓
↑
1 841.03 m
↓
N 41.095912°
E 44.824219°		 ← 1 841.28 m →
3 389 420 m²		 N 41.095912°
E 44.846192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624542236328125 y=0.374542236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624542236328125 × 214)
    floor (0.624542236328125 × 16384)
    floor (10232.5)     		tx = 10232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374542236328125 × 214)
    floor (0.374542236328125 × 16384)
    floor (6136.5)     		ty = 6136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10232 / 6136 ti = "14/10232/6136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10232/6136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10232 ÷ 214
    10232 ÷ 16384     		x = 0.62451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6136 ÷ 214
    6136 ÷ 16384     		y = 0.37451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.788466124950684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78233020} λ = 0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.788466124950684))-π/2
    2×atan(2.20001928217461)-π/2
    2×1.14417213538627-π/2
    2.28834427077253-1.57079632675     		φ = 0.71754794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71754794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.112469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10232 KachelY 6136 0.78233020 0.71754794 44.824219 41.112469
    Oben rechts KachelX + 1 10233 KachelY 6136 0.78271370 0.71754794 44.846192 41.112469
    Unten links KachelX 10232 KachelY + 1 6137 0.78233020 0.71725897 44.824219 41.095912
    Unten rechts KachelX + 1 10233 KachelY + 1 6137 0.78271370 0.71725897 44.846192 41.095912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71754794-0.71725897) × R
    0.000288969999999944 × 6371000     		dl = 1841.02786999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71754794-0.71725897) × R
    0.000288969999999944 × 6371000     		dr = 1841.02786999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78233020-0.78271370) × cos(0.71754794) × R
    0.000383499999999981 × 0.753420318147633 × 6371000     		do = 1840.81566479318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78233020-0.78271370) × cos(0.71725897) × R
    0.000383499999999981 × 0.753610295796356 × 6371000     		du = 1841.27983309779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71754794)-sin(0.71725897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753420318147633-0.753610295796356)×R²
    abs(0.78271370-0.78233020)×0.000189977648722306×R²
    0.000383499999999981×0.000189977648722306×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189977648722306×40589641000000     		ar = 3389420.23939475m²