Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10236 / 2044
↖ ↑ ↗
← N 79.187835°
E 44.912109°		 ← 458.33 m → N 79.187835°
E 44.934082°		 →
↑
458.39 m
↓
↑
458.39 m
↓
N 79.183712°
E 44.912109°		 ← 458.51 m →
210 137 m²		 N 79.183712°
E 44.934082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624786376953125 y=0.124786376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624786376953125 × 214)
    floor (0.624786376953125 × 16384)
    floor (10236.5)     		tx = 10236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124786376953125 × 214)
    floor (0.124786376953125 × 16384)
    floor (2044.5)     		ty = 2044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10236 / 2044 ti = "14/10236/2044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10236/2044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10236 ÷ 214
    10236 ÷ 16384     		x = 0.624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2044 ÷ 214
    2044 ÷ 16384     		y = 0.124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624755859375 × 2 - 1) × π
    0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124755859375 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35772847091284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78386418} λ = 0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35772847091284))-π/2
    2×atan(10.5669211013024)-π/2
    2×1.47644238281365-π/2
    2.95288476562731-1.57079632675     		φ = 1.38208844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38208844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.187835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10236 KachelY 2044 0.78386418 1.38208844 44.912109 79.187835
    Oben rechts KachelX + 1 10237 KachelY 2044 0.78424768 1.38208844 44.934082 79.187835
    Unten links KachelX 10236 KachelY + 1 2045 0.78386418 1.38201649 44.912109 79.183712
    Unten rechts KachelX + 1 10237 KachelY + 1 2045 0.78424768 1.38201649 44.934082 79.183712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38208844-1.38201649) × R
    7.19499999999318e-05 × 6371000     		dl = 458.393449999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38208844-1.38201649) × R
    7.19499999999318e-05 × 6371000     		dr = 458.393449999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78386418-0.78424768) × cos(1.38208844) × R
    0.000383499999999981 × 0.187589877034631 × 6371000     		do = 458.334313376336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78386418-0.78424768) × cos(1.38201649) × R
    0.000383499999999981 × 0.187660549252491 × 6371000     		du = 458.506985286779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38208844)-sin(1.38201649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187589877034631-0.187660549252491)×R²
    abs(0.78424768-0.78386418)×7.06722178593078e-05×R²
    0.000383499999999981×7.06722178593078e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.06722178593078e-05×40589641000000     		ar = 210137.023090262m²