Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10237 / 2043
↖ ↑ ↗
← N 79.191956°
E 44.934082°		 ← 458.15 m → N 79.191956°
E 44.956055°		 →
↑
458.27 m
↓
↑
458.27 m
↓
N 79.187835°
E 44.934082°		 ← 458.32 m →
209 994 m²		 N 79.187835°
E 44.956055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624847412109375 y=0.124725341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624847412109375 × 214)
    floor (0.624847412109375 × 16384)
    floor (10237.5)     		tx = 10237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124725341796875 × 214)
    floor (0.124725341796875 × 16384)
    floor (2043.5)     		ty = 2043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10237 / 2043 ti = "14/10237/2043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10237/2043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10237 ÷ 214
    10237 ÷ 16384     		x = 0.62481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2043 ÷ 214
    2043 ÷ 16384     		y = 0.12469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62481689453125 × 2 - 1) × π
    0.2496337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78424768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12469482421875 × 2 - 1) × π
    0.7506103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3581119661098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78424768} λ = 0.78424768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3581119661098))-π/2
    2×atan(10.5709742419217)-π/2
    2×1.47647834594841-π/2
    2.95295669189683-1.57079632675     		φ = 1.38216037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78424768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.934082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38216037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.191956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10237 KachelY 2043 0.78424768 1.38216037 44.934082 79.191956
    Oben rechts KachelX + 1 10238 KachelY 2043 0.78463117 1.38216037 44.956055 79.191956
    Unten links KachelX 10237 KachelY + 1 2044 0.78424768 1.38208844 44.934082 79.187835
    Unten rechts KachelX + 1 10238 KachelY + 1 2044 0.78463117 1.38208844 44.956055 79.187835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38216037-1.38208844) × R
    7.19300000000533e-05 × 6371000     		dl = 458.26603000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38216037-1.38208844) × R
    7.19300000000533e-05 × 6371000     		dr = 458.26603000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78424768-0.78463117) × cos(1.38216037) × R
    0.000383490000000042 × 0.187519223490875 × 6371000     		do = 458.149740242271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78424768-0.78463117) × cos(1.38208844) × R
    0.000383490000000042 × 0.187589877034631 × 6371000     		du = 458.322362025343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38216037)-sin(1.38208844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187519223490875-0.187589877034631)×R²
    abs(0.78463117-0.78424768)×7.06535437564604e-05×R²
    0.000383490000000042×7.06535437564604e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.06535437564604e-05×40589641000000     		ar = 209994.016046138m²