Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10238 / 6150
↖ ↑ ↗
← N 40.880295°
E 44.956055°		 ← 1 847.31 m → N 40.880295°
E 44.978027°		 →
↑
1 847.53 m
↓
↑
1 847.53 m
↓
N 40.863679°
E 44.956055°		 ← 1 847.77 m →
3 413 383 m²		 N 40.863679°
E 44.978027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624908447265625 y=0.375396728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624908447265625 × 214)
    floor (0.624908447265625 × 16384)
    floor (10238.5)     		tx = 10238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375396728515625 × 214)
    floor (0.375396728515625 × 16384)
    floor (6150.5)     		ty = 6150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10238 / 6150 ti = "14/10238/6150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10238/6150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10238 ÷ 214
    10238 ÷ 16384     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6150 ÷ 214
    6150 ÷ 16384     		y = 0.3753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    0.249267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.783097192193237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783097192193237))-π/2
    2×atan(2.18823917817387)-π/2
    2×1.14214603516019-π/2
    2.28429207032038-1.57079632675     		φ = 0.71349574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71349574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.880295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10238 KachelY 6150 0.78463117 0.71349574 44.956055 40.880295
    Oben rechts KachelX + 1 10239 KachelY 6150 0.78501467 0.71349574 44.978027 40.880295
    Unten links KachelX 10238 KachelY + 1 6151 0.78463117 0.71320575 44.956055 40.863679
    Unten rechts KachelX + 1 10239 KachelY + 1 6151 0.78501467 0.71320575 44.978027 40.863679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71349574-0.71320575) × R
    0.000289990000000073 × 6371000     		dl = 1847.52629000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71349574-0.71320575) × R
    0.000289990000000073 × 6371000     		dr = 1847.52629000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78501467) × cos(0.71349574) × R
    0.000383499999999981 × 0.756078605583225 × 6371000     		do = 1847.31060133138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78501467) × cos(0.71320575) × R
    0.000383499999999981 × 0.756268366682297 × 6371000     		du = 1847.77424054488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71349574)-sin(0.71320575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756078605583225-0.756268366682297)×R²
    abs(0.78501467-0.78463117)×0.000189761099071761×R²
    0.000383499999999981×0.000189761099071761×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189761099071761×40589641000000     		ar = 3413383.21849525m²