Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10239 / 14335
↖ ↑ ↗
← S 79.167206°
E 44.978027°		 ← 459.19 m → S 79.167206°
E 45.000000°		 →
↑
459.09 m
↓
↑
459.09 m
↓
S 79.171334°
E 44.978027°		 ← 459.01 m →
210 770 m²		 S 79.171334°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624969482421875 y=0.874969482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624969482421875 × 214)
    floor (0.624969482421875 × 16384)
    floor (10239.5)     		tx = 10239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874969482421875 × 214)
    floor (0.874969482421875 × 16384)
    floor (14335.5)     		ty = 14335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10239 / 14335 ti = "14/10239/14335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10239/14335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10239 ÷ 214
    10239 ÷ 16384     		x = 0.62493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14335 ÷ 214
    14335 ÷ 16384     		y = 0.87493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62493896484375 × 2 - 1) × π
    0.2498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78501467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.7498779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35581099492804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78501467} λ = 0.78501467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35581099492804))-π/2
    2×atan(0.094816579580021)-π/2
    2×0.0945339629944802-π/2
    0.18906792598896-1.57079632675     		φ = -1.38172840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78501467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38172840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.167206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10239 KachelY 14335 0.78501467 -1.38172840 44.978027 -79.167206
    Oben rechts KachelX + 1 10240 KachelY 14335 0.78539816 -1.38172840 45.000000 -79.167206
    Unten links KachelX 10239 KachelY + 1 14336 0.78501467 -1.38180046 44.978027 -79.171334
    Unten rechts KachelX + 1 10240 KachelY + 1 14336 0.78539816 -1.38180046 45.000000 -79.171334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38172840--1.38180046) × R
    7.20599999999294e-05 × 6371000     		dl = 459.09425999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38172840--1.38180046) × R
    7.20599999999294e-05 × 6371000     		dr = 459.09425999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78501467-0.78539816) × cos(-1.38172840) × R
    0.000383489999999931 × 0.187943513237615 × 6371000     		do = 459.186371226618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78501467-0.78539816) × cos(-1.38180046) × R
    0.000383489999999931 × 0.187872736870527 × 6371000     		du = 459.013449359767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38172840)-sin(-1.38180046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187943513237615-0.187872736870527)×R²
    abs(0.78539816-0.78501467)×7.07763670876327e-05×R²
    0.000383489999999931×7.07763670876327e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.07763670876327e-05×40589641000000     		ar = 210770.133674391m²