Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10239 / 6143
↖ ↑ ↗
← N 40.996484°
E 44.978027°		 ← 1 844.02 m → N 40.996484°
E 45.000000°		 →
↑
1 844.28 m
↓
↑
1 844.28 m
↓
N 40.979898°
E 44.978027°		 ← 1 844.48 m →
3 401 304 m²		 N 40.979898°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624969482421875 y=0.374969482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624969482421875 × 214)
    floor (0.624969482421875 × 16384)
    floor (10239.5)     		tx = 10239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374969482421875 × 214)
    floor (0.374969482421875 × 16384)
    floor (6143.5)     		ty = 6143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10239 / 6143 ti = "14/10239/6143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10239/6143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10239 ÷ 214
    10239 ÷ 16384     		x = 0.62493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6143 ÷ 214
    6143 ÷ 16384     		y = 0.37493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62493896484375 × 2 - 1) × π
    0.2498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78501467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37493896484375 × 2 - 1) × π
    0.2501220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.78578165857196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78501467} λ = 0.78501467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.78578165857196))-π/2
    2×atan(2.1941213243557)-π/2
    2×1.14315997728503-π/2
    2.28631995457006-1.57079632675     		φ = 0.71552363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78501467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71552363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.996484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10239 KachelY 6143 0.78501467 0.71552363 44.978027 40.996484
    Oben rechts KachelX + 1 10240 KachelY 6143 0.78539816 0.71552363 45.000000 40.996484
    Unten links KachelX 10239 KachelY + 1 6144 0.78501467 0.71523415 44.978027 40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 10240 KachelY + 1 6144 0.78539816 0.71523415 45.000000 40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71552363-0.71523415) × R
    0.000289479999999953 × 6371000     		dl = 1844.2770799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71552363-0.71523415) × R
    0.000289479999999953 × 6371000     		dr = 1844.2770799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78501467-0.78539816) × cos(0.71552363) × R
    0.000383489999999931 × 0.754749836760443 × 6371000     		do = 1844.01596392287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78501467-0.78539816) × cos(0.71523415) × R
    0.000383489999999931 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 1844.4798593993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71552363)-sin(0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754749836760443-0.754939707695381)×R²
    abs(0.78539816-0.78501467)×0.00018987093493783×R²
    0.000383489999999931×0.00018987093493783×6371000²
    0.000383489999999931×0.00018987093493783×40589641000000     		ar = 3401304.17706594m²