Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10240 / 2047
↖ ↑ ↗
← N 79.175462°
E 45.000000°		 ← 458.85 m → N 79.175462°
E 45.021973°		 →
↑
458.97 m
↓
↑
458.97 m
↓
N 79.171334°
E 45.000000°		 ← 459.03 m →
210 638 m²		 N 79.171334°
E 45.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625030517578125 y=0.124969482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625030517578125 × 214)
    floor (0.625030517578125 × 16384)
    floor (10240.5)     		tx = 10240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124969482421875 × 214)
    floor (0.124969482421875 × 16384)
    floor (2047.5)     		ty = 2047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10240 / 2047 ti = "14/10240/2047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10240/2047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10240 ÷ 214
    10240 ÷ 16384     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2047 ÷ 214
    2047 ÷ 16384     		y = 0.12493896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12493896484375 × 2 - 1) × π
    0.7501220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35657798532196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35657798532196))-π/2
    2×atan(10.554771001433)-π/2
    2×1.47633441209328-π/2
    2.95266882418657-1.57079632675     		φ = 1.38187250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38187250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.175462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10240 KachelY 2047 0.78539816 1.38187250 45.000000 79.175462
    Oben rechts KachelX + 1 10241 KachelY 2047 0.78578166 1.38187250 45.021973 79.175462
    Unten links KachelX 10240 KachelY + 1 2048 0.78539816 1.38180046 45.000000 79.171334
    Unten rechts KachelX + 1 10241 KachelY + 1 2048 0.78578166 1.38180046 45.021973 79.171334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38187250-1.38180046) × R
    7.2040000000051e-05 × 6371000     		dl = 458.966840000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38187250-1.38180046) × R
    7.2040000000051e-05 × 6371000     		dr = 458.966840000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.78578166) × cos(1.38187250) × R
    0.000383500000000092 × 0.187801979172021 × 6371000     		do = 458.852537968558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.78578166) × cos(1.38180046) × R
    0.000383500000000092 × 0.187872736870527 × 6371000     		du = 459.025418732026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38187250)-sin(1.38180046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187801979172021-0.187872736870527)×R²
    abs(0.78578166-0.78539816)×7.07576985056468e-05×R²
    0.000383500000000092×7.07576985056468e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.07576985056468e-05×40589641000000     		ar = 210637.772736936m²