Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10240 / 2048
↖ ↑ ↗
← N 79.171334°
E 45.000000°		 ← 459.03 m → N 79.171334°
E 45.021973°		 →
↑
459.09 m
↓
↑
459.09 m
↓
N 79.167206°
E 45.000000°		 ← 459.20 m →
210 776 m²		 N 79.167206°
E 45.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625030517578125 y=0.125030517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625030517578125 × 214)
    floor (0.625030517578125 × 16384)
    floor (10240.5)     		tx = 10240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125030517578125 × 214)
    floor (0.125030517578125 × 16384)
    floor (2048.5)     		ty = 2048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10240 / 2048 ti = "14/10240/2048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10240/2048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10240 ÷ 214
    10240 ÷ 16384     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2048 ÷ 214
    2048 ÷ 16384     		y = 0.125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Φ = 2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.356194490125))-π/2
    2×atan(10.5507240734872)-π/2
    2×1.47629839473139-π/2
    2.95259678946279-1.57079632675     		φ = 1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10240 KachelY 2048 0.78539816 1.38180046 45.000000 79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 10241 KachelY 2048 0.78578166 1.38180046 45.021973 79.171334
    Unten links KachelX 10240 KachelY + 1 2049 0.78539816 1.38172840 45.000000 79.167206
    Unten rechts KachelX + 1 10241 KachelY + 1 2049 0.78578166 1.38172840 45.021973 79.167206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38180046-1.38172840) × R
    7.20599999999294e-05 × 6371000     		dl = 459.09425999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38180046-1.38172840) × R
    7.20599999999294e-05 × 6371000     		dr = 459.09425999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.78578166) × cos(1.38180046) × R
    0.000383500000000092 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 459.025418732026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.78578166) × cos(1.38172840) × R
    0.000383500000000092 × 0.187943513237615 × 6371000     		du = 459.19834510804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38180046)-sin(1.38172840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.187943513237615)×R²
    abs(0.78578166-0.78539816)×7.07763670876327e-05×R²
    0.000383500000000092×7.07763670876327e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.07763670876327e-05×40589641000000     		ar = 210775.629779559m²