Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102400 / 4096
↖ ↑ ↗
← N 83.979259°
E101.250000°		 ← 32.03 m → N 83.979259°
E101.252746°		 →
↑
32.05 m
↓
↑
32.05 m
↓
N 83.978971°
E101.250000°		 ← 32.03 m →
1 026 m²		 N 83.978971°
E101.252746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781253814697266 y=0.0312538146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781253814697266 × 217)
    floor (0.781253814697266 × 131072)
    floor (102400.5)     		tx = 102400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0312538146972656 × 217)
    floor (0.0312538146972656 × 131072)
    floor (4096.5)     		ty = 4096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102400 / 4096 ti = "17/102400/4096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102400/4096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102400 ÷ 217
    102400 ÷ 131072     		x = 0.78125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4096 ÷ 217
    4096 ÷ 131072     		y = 0.03125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78125 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.03125 × 2 - 1) × π
    0.9375 × 3.1415926535     		Φ = 2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76714587} λ = 1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.94524311265625))-π/2
    2×atan(19.0152846809447)-π/2
    2×1.51825545421397-π/2
    3.03651090842793-1.57079632675     		φ = 1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102400 KachelY 4096 1.76714587 1.46571458 101.250000 83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 102401 KachelY 4096 1.76719380 1.46571458 101.252746 83.979259
    Unten links KachelX 102400 KachelY + 1 4097 1.76714587 1.46570955 101.250000 83.978971
    Unten rechts KachelX + 1 102401 KachelY + 1 4097 1.76719380 1.46570955 101.252746 83.978971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.46571458-1.46570955) × R
    5.03000000007248e-06 × 6371000     		dl = 32.0461300004617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.46571458-1.46570955) × R
    5.03000000007248e-06 × 6371000     		dr = 32.0461300004617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76714587-1.76719380) × cos(1.46571458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 32.0289546137623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76714587-1.76719380) × cos(1.46570955) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.104893467311308 × 6371000     		du = 32.0304821119393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.46571458)-sin(1.46570955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.104893467311308)×R²
    abs(1.76719380-1.76714587)×5.00225315179514e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.00225315179514e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.00225315179514e-06×40589641000000     		ar = 1026.428518473m²