Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10241 / 2051
↖ ↑ ↗
← N 79.158944°
E 45.021973°		 ← 459.53 m → N 79.158944°
E 45.043945°		 →
↑
459.67 m
↓
↑
459.67 m
↓
N 79.154810°
E 45.021973°		 ← 459.71 m →
211 272 m²		 N 79.154810°
E 45.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625091552734375 y=0.125213623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625091552734375 × 214)
    floor (0.625091552734375 × 16384)
    floor (10241.5)     		tx = 10241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125213623046875 × 214)
    floor (0.125213623046875 × 16384)
    floor (2051.5)     		ty = 2051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10241 / 2051 ti = "14/10241/2051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10241/2051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10241 ÷ 214
    10241 ÷ 16384     		x = 0.62506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2051 ÷ 214
    2051 ÷ 16384     		y = 0.12518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62506103515625 × 2 - 1) × π
    0.2501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78578166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12518310546875 × 2 - 1) × π
    0.7496337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35504400453412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78578166} λ = 0.78578166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35504400453412))-π/2
    2×atan(10.5385925973497)-π/2
    2×1.4761902612115-π/2
    2.952380522423-1.57079632675     		φ = 1.38158420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78578166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38158420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.158944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10241 KachelY 2051 0.78578166 1.38158420 45.021973 79.158944
    Oben rechts KachelX + 1 10242 KachelY 2051 0.78616515 1.38158420 45.043945 79.158944
    Unten links KachelX 10241 KachelY + 1 2052 0.78578166 1.38151205 45.021973 79.154810
    Unten rechts KachelX + 1 10242 KachelY + 1 2052 0.78616515 1.38151205 45.043945 79.154810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38158420-1.38151205) × R
    7.21500000000486e-05 × 6371000     		dl = 459.667650000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38158420-1.38151205) × R
    7.21500000000486e-05 × 6371000     		dr = 459.667650000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78578166-0.78616515) × cos(1.38158420) × R
    0.000383489999999931 × 0.18808514161587 × 6371000     		do = 459.532399775056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78578166-0.78616515) × cos(1.38151205) × R
    0.000383489999999931 × 0.188156003445525 × 6371000     		du = 459.705530445314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38158420)-sin(1.38151205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18808514161587-0.188156003445525)×R²
    abs(0.78616515-0.78578166)×7.08618296543506e-05×R²
    0.000383489999999931×7.08618296543506e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.08618296543506e-05×40589641000000     		ar = 211271.969680084m²