Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10241 / 26625
↖ ↑ ↗
← N 31.947501°
W123.744507°		 ← 518.33 m → N 31.947501°
W123.739014°		 →
↑
518.28 m
↓
↑
518.28 m
↓
N 31.942840°
W123.744507°		 ← 518.35 m →
268 646 m²		 N 31.942840°
W123.739014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156272888183594 y=0.406272888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156272888183594 × 216)
    floor (0.156272888183594 × 65536)
    floor (10241.5)     		tx = 10241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406272888183594 × 216)
    floor (0.406272888183594 × 65536)
    floor (26625.5)     		ty = 26625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10241 / 26625 ti = "16/10241/26625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10241/26625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10241 ÷ 216
    10241 ÷ 65536     		x = 0.156265258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26625 ÷ 216
    26625 ÷ 65536     		y = 0.406265258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156265258789062 × 2 - 1) × π
    -0.687469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15974908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406265258789062 × 2 - 1) × π
    0.187469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58895274873201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15974908} λ = -2.15974908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58895274873201))-π/2
    2×atan(1.80210017514597)-π/2
    2×1.06419270545929-π/2
    2.12838541091858-1.57079632675     		φ = 0.55758908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15974908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.744507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55758908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.947501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10241 KachelY 26625 -2.15974908 0.55758908 -123.744507 31.947501
    Oben rechts KachelX + 1 10242 KachelY 26625 -2.15965320 0.55758908 -123.739014 31.947501
    Unten links KachelX 10241 KachelY + 1 26626 -2.15974908 0.55750773 -123.744507 31.942840
    Unten rechts KachelX + 1 10242 KachelY + 1 26626 -2.15965320 0.55750773 -123.739014 31.942840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55758908-0.55750773) × R
    8.134999999998e-05 × 6371000     		dl = 518.280849999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55758908-0.55750773) × R
    8.134999999998e-05 × 6371000     		dr = 518.280849999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15974908--2.15965320) × cos(0.55758908) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.848533294852168 × 6371000     		do = 518.327818989383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15974908--2.15965320) × cos(0.55750773) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.848576337745435 × 6371000     		du = 518.354111804439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55758908)-sin(0.55750773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848533294852168-0.848576337745435)×R²
    abs(-2.15965320--2.15974908)×4.30428932671756e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.30428932671756e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.30428932671756e-05×40589641000000     		ar = 268646.196283936m²