Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10242 / 2050
↖ ↑ ↗
← N 79.163075°
E 45.043945°		 ← 459.37 m → N 79.163075°
E 45.065918°		 →
↑
459.41 m
↓
↑
459.41 m
↓
N 79.158944°
E 45.043945°		 ← 459.54 m →
211 081 m²		 N 79.158944°
E 45.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625152587890625 y=0.125152587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625152587890625 × 214)
    floor (0.625152587890625 × 16384)
    floor (10242.5)     		tx = 10242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125152587890625 × 214)
    floor (0.125152587890625 × 16384)
    floor (2050.5)     		ty = 2050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10242 / 2050 ti = "14/10242/2050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10242/2050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10242 ÷ 214
    10242 ÷ 16384     		x = 0.6251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2050 ÷ 214
    2050 ÷ 16384     		y = 0.1251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1251220703125 × 2 - 1) × π
    0.749755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35542749973108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78616515} λ = 0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35542749973108))-π/2
    2×atan(10.5426348720404)-π/2
    2×1.47622631929543-π/2
    2.95245263859086-1.57079632675     		φ = 1.38165631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38165631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.163075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10242 KachelY 2050 0.78616515 1.38165631 45.043945 79.163075
    Oben rechts KachelX + 1 10243 KachelY 2050 0.78654865 1.38165631 45.065918 79.163075
    Unten links KachelX 10242 KachelY + 1 2051 0.78616515 1.38158420 45.043945 79.158944
    Unten rechts KachelX + 1 10243 KachelY + 1 2051 0.78654865 1.38158420 45.065918 79.158944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38165631-1.38158420) × R
    7.21100000000696e-05 × 6371000     		dl = 459.412810000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38165631-1.38158420) × R
    7.21100000000696e-05 × 6371000     		dr = 459.412810000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78616515-0.78654865) × cos(1.38165631) × R
    0.000383499999999981 × 0.188014318093767 × 6371000     		do = 459.37134109064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78616515-0.78654865) × cos(1.38158420) × R
    0.000383499999999981 × 0.18808514161587 × 6371000     		du = 459.544382679489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38165631)-sin(1.38158420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188014318093767-0.18808514161587)×R²
    abs(0.78654865-0.78616515)×7.08235221029696e-05×R²
    0.000383499999999981×7.08235221029696e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.08235221029696e-05×40589641000000     		ar = 211080.827495228m²