Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10244 / 14340
↖ ↑ ↗
← S 79.187835°
E 45.087890°		 ← 458.33 m → S 79.187835°
E 45.109863°		 →
↑
458.27 m
↓
↑
458.27 m
↓
S 79.191956°
E 45.087890°		 ← 458.16 m →
209 999 m²		 S 79.191956°
E 45.109863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625274658203125 y=0.875274658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625274658203125 × 214)
    floor (0.625274658203125 × 16384)
    floor (10244.5)     		tx = 10244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875274658203125 × 214)
    floor (0.875274658203125 × 16384)
    floor (14340.5)     		ty = 14340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10244 / 14340 ti = "14/10244/14340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10244/14340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10244 ÷ 214
    10244 ÷ 16384     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14340 ÷ 214
    14340 ÷ 16384     		y = 0.875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.75048828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35772847091284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35772847091284))-π/2
    2×atan(0.0946349452610889)-π/2
    2×0.0943539439812426-π/2
    0.188707887962485-1.57079632675     		φ = -1.38208844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38208844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.187835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10244 KachelY 14340 0.78693214 -1.38208844 45.087890 -79.187835
    Oben rechts KachelX + 1 10245 KachelY 14340 0.78731564 -1.38208844 45.109863 -79.187835
    Unten links KachelX 10244 KachelY + 1 14341 0.78693214 -1.38216037 45.087890 -79.191956
    Unten rechts KachelX + 1 10245 KachelY + 1 14341 0.78731564 -1.38216037 45.109863 -79.191956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38208844--1.38216037) × R
    7.19300000000533e-05 × 6371000     		dl = 458.26603000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38208844--1.38216037) × R
    7.19300000000533e-05 × 6371000     		dr = 458.26603000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78731564) × cos(-1.38208844) × R
    0.000383499999999981 × 0.187589877034631 × 6371000     		do = 458.334313376336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78731564) × cos(-1.38216037) × R
    0.000383499999999981 × 0.187519223490875 × 6371000     		du = 458.161687091927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38208844)-sin(-1.38216037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187589877034631-0.187519223490875)×R²
    abs(0.78731564-0.78693214)×7.06535437564604e-05×R²
    0.000383499999999981×7.06535437564604e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.06535437564604e-05×40589641000000     		ar = 209999.491912908m²