Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10244 / 2053
↖ ↑ ↗
← N 79.150675°
E 45.087890°		 ← 459.89 m → N 79.150675°
E 45.109863°		 →
↑
459.99 m
↓
↑
459.99 m
↓
N 79.146538°
E 45.087890°		 ← 460.06 m →
211 583 m²		 N 79.146538°
E 45.109863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625274658203125 y=0.125335693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625274658203125 × 214)
    floor (0.625274658203125 × 16384)
    floor (10244.5)     		tx = 10244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125335693359375 × 214)
    floor (0.125335693359375 × 16384)
    floor (2053.5)     		ty = 2053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10244 / 2053 ti = "14/10244/2053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10244/2053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10244 ÷ 214
    10244 ÷ 16384     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2053 ÷ 214
    2053 ÷ 16384     		y = 0.12530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12530517578125 × 2 - 1) × π
    0.7493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3542770141402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3542770141402))-π/2
    2×atan(10.5305126970611)-π/2
    2×1.47611810428712-π/2
    2.95223620857424-1.57079632675     		φ = 1.38143988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38143988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.150675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10244 KachelY 2053 0.78693214 1.38143988 45.087890 79.150675
    Oben rechts KachelX + 1 10245 KachelY 2053 0.78731564 1.38143988 45.109863 79.150675
    Unten links KachelX 10244 KachelY + 1 2054 0.78693214 1.38136768 45.087890 79.146538
    Unten rechts KachelX + 1 10245 KachelY + 1 2054 0.78731564 1.38136768 45.109863 79.146538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38143988-1.38136768) × R
    7.21999999999667e-05 × 6371000     		dl = 459.986199999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38143988-1.38136768) × R
    7.21999999999667e-05 × 6371000     		dr = 459.986199999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78731564) × cos(1.38143988) × R
    0.000383499999999981 × 0.188226883938221 × 6371000     		do = 459.890698648229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78731564) × cos(1.38136768) × R
    0.000383499999999981 × 0.188297792913896 × 6371000     		du = 460.063949023952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38143988)-sin(1.38136768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188226883938221-0.188297792913896)×R²
    abs(0.78731564-0.78693214)×7.09089756747161e-05×R²
    0.000383499999999981×7.09089756747161e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.09089756747161e-05×40589641000000     		ar = 211583.221368614m²