Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10247 / 2045
↖ ↑ ↗
← N 79.183712°
E 45.153809°		 ← 458.50 m → N 79.183712°
E 45.175781°		 →
↑
458.58 m
↓
↑
458.58 m
↓
N 79.179588°
E 45.153809°		 ← 458.67 m →
210 298 m²		 N 79.179588°
E 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625457763671875 y=0.124847412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625457763671875 × 214)
    floor (0.625457763671875 × 16384)
    floor (10247.5)     		tx = 10247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124847412109375 × 214)
    floor (0.124847412109375 × 16384)
    floor (2045.5)     		ty = 2045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10247 / 2045 ti = "14/10247/2045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10247/2045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10247 ÷ 214
    10247 ÷ 16384     		x = 0.62542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2045 ÷ 214
    2045 ÷ 16384     		y = 0.12481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62542724609375 × 2 - 1) × π
    0.2508544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78808263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12481689453125 × 2 - 1) × π
    0.7503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35734497571588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78808263} λ = 0.78808263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35734497571588))-π/2
    2×atan(10.5628695147451)-π/2
    2×1.47640640612949-π/2
    2.95281281225898-1.57079632675     		φ = 1.38201649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78808263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38201649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.183712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10247 KachelY 2045 0.78808263 1.38201649 45.153809 79.183712
    Oben rechts KachelX + 1 10248 KachelY 2045 0.78846612 1.38201649 45.175781 79.183712
    Unten links KachelX 10247 KachelY + 1 2046 0.78808263 1.38194451 45.153809 79.179588
    Unten rechts KachelX + 1 10248 KachelY + 1 2046 0.78846612 1.38194451 45.175781 79.179588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38201649-1.38194451) × R
    7.19799999999715e-05 × 6371000     		dl = 458.584579999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38201649-1.38194451) × R
    7.19799999999715e-05 × 6371000     		dr = 458.584579999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78808263-0.78846612) × cos(1.38201649) × R
    0.000383490000000042 × 0.187660549252491 × 6371000     		do = 458.495029433259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78808263-0.78846612) × cos(1.38194451) × R
    0.000383490000000042 × 0.187731249965481 × 6371000     		du = 458.667766460901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38201649)-sin(1.38194451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187660549252491-0.187731249965481)×R²
    abs(0.78846612-0.78808263)×7.07007129907844e-05×R²
    0.000383490000000042×7.07007129907844e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.07007129907844e-05×40589641000000     		ar = 210298.357863013m²