Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10248 / 10248
↖ ↑ ↗
← S 41.112469°
E 45.175781°		 ← 1 840.82 m → S 41.112469°
E 45.197754°		 →
↑
1 840.58 m
↓
↑
1 840.58 m
↓
S 41.129021°
E 45.175781°		 ← 1 840.35 m →
3 387 745 m²		 S 41.129021°
E 45.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625518798828125 y=0.625518798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625518798828125 × 214)
    floor (0.625518798828125 × 16384)
    floor (10248.5)     		tx = 10248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625518798828125 × 214)
    floor (0.625518798828125 × 16384)
    floor (10248.5)     		ty = 10248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10248 / 10248 ti = "14/10248/10248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10248/10248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10248 ÷ 214
    10248 ÷ 16384     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10248 ÷ 214
    10248 ÷ 16384     		y = 0.62548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.788466124950684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.788466124950684))-π/2
    2×atan(0.454541470659998)-π/2
    2×0.426624191408632-π/2
    0.853248382817263-1.57079632675     		φ = -0.71754794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71754794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.112469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10248 KachelY 10248 0.78846612 -0.71754794 45.175781 -41.112469
    Oben rechts KachelX + 1 10249 KachelY 10248 0.78884962 -0.71754794 45.197754 -41.112469
    Unten links KachelX 10248 KachelY + 1 10249 0.78846612 -0.71783684 45.175781 -41.129021
    Unten rechts KachelX + 1 10249 KachelY + 1 10249 0.78884962 -0.71783684 45.197754 -41.129021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71754794--0.71783684) × R
    0.000288900000000036 × 6371000     		dl = 1840.58190000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71754794--0.71783684) × R
    0.000288900000000036 × 6371000     		dr = 1840.58190000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78884962) × cos(-0.71754794) × R
    0.000383499999999981 × 0.753420318147633 × 6371000     		do = 1840.81566479318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78884962) × cos(-0.71783684) × R
    0.000383499999999981 × 0.753230323628538 × 6371000     		du = 1840.35145526956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71754794)-sin(-0.71783684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753420318147633-0.753230323628538)×R²
    abs(0.78884962-0.78846612)×0.000189994519095071×R²
    0.000383499999999981×0.000189994519095071×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189994519095071×40589641000000     		ar = 3387744.80959405m²