Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10248 / 26632
↖ ↑ ↗
← N 31.914868°
W123.706055°		 ← 518.46 m → N 31.914868°
W123.700562°		 →
↑
518.47 m
↓
↑
518.47 m
↓
N 31.910205°
W123.706055°		 ← 518.48 m →
268 813 m²		 N 31.910205°
W123.700562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156379699707031 y=0.406379699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156379699707031 × 216)
    floor (0.156379699707031 × 65536)
    floor (10248.5)     		tx = 10248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406379699707031 × 216)
    floor (0.406379699707031 × 65536)
    floor (26632.5)     		ty = 26632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10248 / 26632 ti = "16/10248/26632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10248/26632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10248 ÷ 216
    10248 ÷ 65536     		x = 0.1563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26632 ÷ 216
    26632 ÷ 65536     		y = 0.4063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15907796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    0.187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.588281632137329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15907796} λ = -2.15907796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.588281632137329))-π/2
    2×atan(1.80089116155307)-π/2
    2×1.06390792252527-π/2
    2.12781584505054-1.57079632675     		φ = 0.55701952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15907796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55701952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.914868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10248 KachelY 26632 -2.15907796 0.55701952 -123.706055 31.914868
    Oben rechts KachelX + 1 10249 KachelY 26632 -2.15898209 0.55701952 -123.700562 31.914868
    Unten links KachelX 10248 KachelY + 1 26633 -2.15907796 0.55693814 -123.706055 31.910205
    Unten rechts KachelX + 1 10249 KachelY + 1 26633 -2.15898209 0.55693814 -123.700562 31.910205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55701952-0.55693814) × R
    8.13800000000198e-05 × 6371000     		dl = 518.471980000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55701952-0.55693814) × R
    8.13800000000198e-05 × 6371000     		dr = 518.471980000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15907796--2.15898209) × cos(0.55701952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848834535317246 × 6371000     		do = 518.457752925395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15907796--2.15898209) × cos(0.55693814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84887755474453 × 6371000     		du = 518.484028665453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55701952)-sin(0.55693814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848834535317246-0.84887755474453)×R²
    abs(-2.15898209--2.15907796)×4.30194272849072e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30194272849072e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30194272849072e-05×40589641000000     		ar = 268812.62947138m²