Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10249 / 2057
↖ ↑ ↗
← N 79.134119°
E 45.197754°		 ← 460.58 m → N 79.134119°
E 45.219727°		 →
↑
460.69 m
↓
↑
460.69 m
↓
N 79.129976°
E 45.197754°		 ← 460.76 m →
212 225 m²		 N 79.129976°
E 45.219727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625579833984375 y=0.125579833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625579833984375 × 214)
    floor (0.625579833984375 × 16384)
    floor (10249.5)     		tx = 10249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125579833984375 × 214)
    floor (0.125579833984375 × 16384)
    floor (2057.5)     		ty = 2057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10249 / 2057 ti = "14/10249/2057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10249/2057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10249 ÷ 214
    10249 ÷ 16384     		x = 0.62554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2057 ÷ 214
    2057 ÷ 16384     		y = 0.12554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62554931640625 × 2 - 1) × π
    0.2510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78884962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12554931640625 × 2 - 1) × π
    0.7489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35274303335236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78884962} λ = 0.78884962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35274303335236))-π/2
    2×atan(10.5143714762242)-π/2
    2×1.47597362727417-π/2
    2.95194725454833-1.57079632675     		φ = 1.38115093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78884962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38115093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.134119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10249 KachelY 2057 0.78884962 1.38115093 45.197754 79.134119
    Oben rechts KachelX + 1 10250 KachelY 2057 0.78923312 1.38115093 45.219727 79.134119
    Unten links KachelX 10249 KachelY + 1 2058 0.78884962 1.38107862 45.197754 79.129976
    Unten rechts KachelX + 1 10250 KachelY + 1 2058 0.78923312 1.38107862 45.219727 79.129976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38115093-1.38107862) × R
    7.23099999999643e-05 × 6371000     		dl = 460.687009999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38115093-1.38107862) × R
    7.23099999999643e-05 × 6371000     		dr = 460.687009999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78884962-0.78923312) × cos(1.38115093) × R
    0.000383499999999981 × 0.188510661260718 × 6371000     		do = 460.584045679072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78884962-0.78923312) × cos(1.38107862) × R
    0.000383499999999981 × 0.188581674332195 × 6371000     		du = 460.757550389831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38115093)-sin(1.38107862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188510661260718-0.188581674332195)×R²
    abs(0.78923312-0.78884962)×7.10130714771107e-05×R²
    0.000383499999999981×7.10130714771107e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.10130714771107e-05×40589641000000     		ar = 212225.052634135m²