Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10251 / 2043
↖ ↑ ↗
← N 79.191956°
E 45.241699°		 ← 458.16 m → N 79.191956°
E 45.263672°		 →
↑
458.27 m
↓
↑
458.27 m
↓
N 79.187835°
E 45.241699°		 ← 458.33 m →
209 999 m²		 N 79.187835°
E 45.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625701904296875 y=0.124725341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625701904296875 × 214)
    floor (0.625701904296875 × 16384)
    floor (10251.5)     		tx = 10251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124725341796875 × 214)
    floor (0.124725341796875 × 16384)
    floor (2043.5)     		ty = 2043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10251 / 2043 ti = "14/10251/2043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10251/2043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10251 ÷ 214
    10251 ÷ 16384     		x = 0.62567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2043 ÷ 214
    2043 ÷ 16384     		y = 0.12469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62567138671875 × 2 - 1) × π
    0.2513427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78961661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12469482421875 × 2 - 1) × π
    0.7506103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3581119661098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78961661} λ = 0.78961661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3581119661098))-π/2
    2×atan(10.5709742419217)-π/2
    2×1.47647834594841-π/2
    2.95295669189683-1.57079632675     		φ = 1.38216037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78961661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38216037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.191956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10251 KachelY 2043 0.78961661 1.38216037 45.241699 79.191956
    Oben rechts KachelX + 1 10252 KachelY 2043 0.79000011 1.38216037 45.263672 79.191956
    Unten links KachelX 10251 KachelY + 1 2044 0.78961661 1.38208844 45.241699 79.187835
    Unten rechts KachelX + 1 10252 KachelY + 1 2044 0.79000011 1.38208844 45.263672 79.187835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38216037-1.38208844) × R
    7.19300000000533e-05 × 6371000     		dl = 458.26603000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38216037-1.38208844) × R
    7.19300000000533e-05 × 6371000     		dr = 458.26603000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78961661-0.79000011) × cos(1.38216037) × R
    0.000383499999999981 × 0.187519223490875 × 6371000     		do = 458.161687091927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78961661-0.79000011) × cos(1.38208844) × R
    0.000383499999999981 × 0.187589877034631 × 6371000     		du = 458.334313376336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38216037)-sin(1.38208844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187519223490875-0.187589877034631)×R²
    abs(0.79000011-0.78961661)×7.06535437564604e-05×R²
    0.000383499999999981×7.06535437564604e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.06535437564604e-05×40589641000000     		ar = 209999.491912908m²