Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10255 / 2063
↖ ↑ ↗
← N 79.109238°
E 45.329590°		 ← 461.63 m → N 79.109238°
E 45.351563°		 →
↑
461.71 m
↓
↑
461.71 m
↓
N 79.105086°
E 45.329590°		 ← 461.80 m →
213 176 m²		 N 79.105086°
E 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625946044921875 y=0.125946044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625946044921875 × 214)
    floor (0.625946044921875 × 16384)
    floor (10255.5)     		tx = 10255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125946044921875 × 214)
    floor (0.125946044921875 × 16384)
    floor (2063.5)     		ty = 2063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10255 / 2063 ti = "14/10255/2063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10255/2063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10255 ÷ 214
    10255 ÷ 16384     		x = 0.62591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2063 ÷ 214
    2063 ÷ 16384     		y = 0.12591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62591552734375 × 2 - 1) × π
    0.2518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79115059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12591552734375 × 2 - 1) × π
    0.7481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35044206217059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79115059} λ = 0.79115059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35044206217059))-π/2
    2×atan(10.4902060231306)-π/2
    2×1.47575650325186-π/2
    2.95151300650372-1.57079632675     		φ = 1.38071668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79115059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38071668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.109238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10255 KachelY 2063 0.79115059 1.38071668 45.329590 79.109238
    Oben rechts KachelX + 1 10256 KachelY 2063 0.79153409 1.38071668 45.351563 79.109238
    Unten links KachelX 10255 KachelY + 1 2064 0.79115059 1.38064421 45.329590 79.105086
    Unten rechts KachelX + 1 10256 KachelY + 1 2064 0.79153409 1.38064421 45.351563 79.105086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38071668-1.38064421) × R
    7.24699999998801e-05 × 6371000     		dl = 461.706369999236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38071668-1.38064421) × R
    7.24699999998801e-05 × 6371000     		dr = 461.706369999236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79115059-0.79153409) × cos(1.38071668) × R
    0.000383499999999981 × 0.188937107867296 × 6371000     		do = 461.625973504323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79115059-0.79153409) × cos(1.38064421) × R
    0.000383499999999981 × 0.189008272127693 × 6371000     		du = 461.79984761172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38071668)-sin(1.38064421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188937107867296-0.189008272127693)×R²
    abs(0.79153409-0.79115059)×7.11642603971607e-05×R²
    0.000383499999999981×7.11642603971607e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.11642603971607e-05×40589641000000     		ar = 213175.792007589m²