Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10256 / 2032
↖ ↑ ↗
← N 79.237185°
E 45.351563°		 ← 456.26 m → N 79.237185°
E 45.373535°		 →
↑
456.35 m
↓
↑
456.35 m
↓
N 79.233081°
E 45.351563°		 ← 456.43 m →
208 253 m²		 N 79.233081°
E 45.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626007080078125 y=0.124053955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626007080078125 × 214)
    floor (0.626007080078125 × 16384)
    floor (10256.5)     		tx = 10256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124053955078125 × 214)
    floor (0.124053955078125 × 16384)
    floor (2032.5)     		ty = 2032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10256 / 2032 ti = "14/10256/2032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10256/2032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10256 ÷ 214
    10256 ÷ 16384     		x = 0.6259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2032 ÷ 214
    2032 ÷ 16384     		y = 0.1240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1240234375 × 2 - 1) × π
    0.751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36233041327637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79153409} λ = 0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36233041327637))-π/2
    2×atan(10.6156615274683)-π/2
    2×1.47687304757525-π/2
    2.9537460951505-1.57079632675     		φ = 1.38294977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38294977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.237185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10256 KachelY 2032 0.79153409 1.38294977 45.351563 79.237185
    Oben rechts KachelX + 1 10257 KachelY 2032 0.79191758 1.38294977 45.373535 79.237185
    Unten links KachelX 10256 KachelY + 1 2033 0.79153409 1.38287814 45.351563 79.233081
    Unten rechts KachelX + 1 10257 KachelY + 1 2033 0.79191758 1.38287814 45.373535 79.233081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38294977-1.38287814) × R
    7.16299999998782e-05 × 6371000     		dl = 456.354729999224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38294977-1.38287814) × R
    7.16299999998782e-05 × 6371000     		dr = 456.354729999224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79153409-0.79191758) × cos(1.38294977) × R
    0.000383490000000042 × 0.186743768364246 × 6371000     		do = 456.25513680791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79153409-0.79191758) × cos(1.38287814) × R
    0.000383490000000042 × 0.18681413781705 × 6371000     		du = 456.427064495764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38294977)-sin(1.38287814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186743768364246-0.18681413781705)×R²
    abs(0.79191758-0.79153409)×7.0369452803476e-05×R²
    0.000383490000000042×7.0369452803476e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.0369452803476e-05×40589641000000     		ar = 208253.419865223m²