Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10256 / 6160
↖ ↑ ↗
← N 40.713956°
E 45.351563°		 ← 1 851.90 m → N 40.713956°
E 45.373535°		 →
↑
1 852.18 m
↓
↑
1 852.18 m
↓
N 40.697299°
E 45.351563°		 ← 1 852.36 m →
3 430 470 m²		 N 40.697299°
E 45.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626007080078125 y=0.376007080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626007080078125 × 214)
    floor (0.626007080078125 × 16384)
    floor (10256.5)     		tx = 10256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376007080078125 × 214)
    floor (0.376007080078125 × 16384)
    floor (6160.5)     		ty = 6160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10256 / 6160 ti = "14/10256/6160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10256/6160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10256 ÷ 214
    10256 ÷ 16384     		x = 0.6259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6160 ÷ 214
    6160 ÷ 16384     		y = 0.3759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.779262240223633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79153409} λ = 0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.779262240223633))-π/2
    2×atan(2.1798634565377)-π/2
    2×1.14069445372912-π/2
    2.28138890745823-1.57079632675     		φ = 0.71059258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71059258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.713956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10256 KachelY 6160 0.79153409 0.71059258 45.351563 40.713956
    Oben rechts KachelX + 1 10257 KachelY 6160 0.79191758 0.71059258 45.373535 40.713956
    Unten links KachelX 10256 KachelY + 1 6161 0.79153409 0.71030186 45.351563 40.697299
    Unten rechts KachelX + 1 10257 KachelY + 1 6161 0.79191758 0.71030186 45.373535 40.697299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71059258-0.71030186) × R
    0.000290720000000078 × 6371000     		dl = 1852.17712000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71059258-0.71030186) × R
    0.000290720000000078 × 6371000     		dr = 1852.17712000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79153409-0.79191758) × cos(0.71059258) × R
    0.000383490000000042 × 0.757975479207299 × 6371000     		do = 1851.89690125681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79153409-0.79191758) × cos(0.71030186) × R
    0.000383490000000042 × 0.758165078900614 × 6371000     		du = 1852.3601340317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71059258)-sin(0.71030186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757975479207299-0.758165078900614)×R²
    abs(0.79191758-0.79153409)×0.000189599693314557×R²
    0.000383490000000042×0.000189599693314557×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189599693314557×40589641000000     		ar = 3430470.08784259m²