Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10258 / 2098
↖ ↑ ↗
← N 78.962976°
E 45.395508°		 ← 467.74 m → N 78.962976°
E 45.417480°		 →
↑
467.82 m
↓
↑
467.82 m
↓
N 78.958769°
E 45.395508°		 ← 467.91 m →
218 859 m²		 N 78.958769°
E 45.417480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626129150390625 y=0.128082275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626129150390625 × 214)
    floor (0.626129150390625 × 16384)
    floor (10258.5)     		tx = 10258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128082275390625 × 214)
    floor (0.128082275390625 × 16384)
    floor (2098.5)     		ty = 2098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10258 / 2098 ti = "14/10258/2098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10258/2098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10258 ÷ 214
    10258 ÷ 16384     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2098 ÷ 214
    2098 ÷ 16384     		y = 0.1280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1280517578125 × 2 - 1) × π
    0.743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33701973027698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33701973027698))-π/2
    2×atan(10.3503437350617)-π/2
    2×1.47448012309823-π/2
    2.94896024619646-1.57079632675     		φ = 1.37816392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37816392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.962976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10258 KachelY 2098 0.79230108 1.37816392 45.395508 78.962976
    Oben rechts KachelX + 1 10259 KachelY 2098 0.79268457 1.37816392 45.417480 78.962976
    Unten links KachelX 10258 KachelY + 1 2099 0.79230108 1.37809049 45.395508 78.958769
    Unten rechts KachelX + 1 10259 KachelY + 1 2099 0.79268457 1.37809049 45.417480 78.958769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37816392-1.37809049) × R
    7.3430000000041e-05 × 6371000     		dl = 467.822530000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37816392-1.37809049) × R
    7.3430000000041e-05 × 6371000     		dr = 467.822530000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79268457) × cos(1.37816392) × R
    0.000383490000000042 × 0.191443272257447 × 6371000     		do = 467.737034225442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79268457) × cos(1.37809049) × R
    0.000383490000000042 × 0.191515343556464 × 6371000     		du = 467.913119889135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37816392)-sin(1.37809049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191443272257447-0.191515343556464)×R²
    abs(0.79268457-0.79230108)×7.20712990170402e-05×R²
    0.000383490000000042×7.20712990170402e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.20712990170402e-05×40589641000000     		ar = 218859.111246517m²