Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1026 / 3074
↖ ↑ ↗
← N 40.913512°
W134.912109°		 ← 3 692.72 m → N 40.913512°
W134.868164°		 →
↑
3 693.65 m
↓
↑
3 693.65 m
↓
N 40.880295°
W134.912109°		 ← 3 694.57 m →
13 643 038 m²		 N 40.880295°
W134.868164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12530517578125 y=0.37530517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12530517578125 × 213)
    floor (0.12530517578125 × 8192)
    floor (1026.5)     		tx = 1026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37530517578125 × 213)
    floor (0.37530517578125 × 8192)
    floor (3074.5)     		ty = 3074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1026 / 3074 ti = "13/1026/3074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1026/3074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1026 ÷ 213
    1026 ÷ 8192     		x = 0.125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3074 ÷ 213
    3074 ÷ 8192     		y = 0.375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.74951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35466051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    0.24951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.783864182587158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35466051} λ = -2.35466051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.783864182587158))-π/2
    2×atan(2.18991818041011)-π/2
    2×1.14243591489375-π/2
    2.2848718297875-1.57079632675     		φ = 0.71407550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35466051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71407550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.913512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1026 KachelY 3074 -2.35466051 0.71407550 -134.912109 40.913512
    Oben rechts KachelX + 1 1027 KachelY 3074 -2.35389352 0.71407550 -134.868164 40.913512
    Unten links KachelX 1026 KachelY + 1 3075 -2.35466051 0.71349574 -134.912109 40.880295
    Unten rechts KachelX + 1 1027 KachelY + 1 3075 -2.35389352 0.71349574 -134.868164 40.880295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71407550-0.71349574) × R
    0.000579759999999929 × 6371000     		dl = 3693.65095999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71407550-0.71349574) × R
    0.000579759999999929 × 6371000     		dr = 3693.65095999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35466051--2.35389352) × cos(0.71407550) × R
    0.000766989999999801 × 0.75569903673778 × 6371000     		do = 3692.71827227767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35466051--2.35389352) × cos(0.71349574) × R
    0.000766989999999801 × 0.756078605583225 × 6371000     		du = 3694.57303289403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71407550)-sin(0.71349574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75569903673778-0.756078605583225)×R²
    abs(-2.35389352--2.35466051)×0.000379568845445544×R²
    0.000766989999999801×0.000379568845445544×6371000²
    0.000766989999999801×0.000379568845445544×40589641000000     		ar = 13643038.192714m²