Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10261 / 2067
↖ ↑ ↗
← N 79.092620°
E 45.461426°		 ← 462.32 m → N 79.092620°
E 45.483399°		 →
↑
462.41 m
↓
↑
462.41 m
↓
N 79.088462°
E 45.461426°		 ← 462.50 m →
213 821 m²		 N 79.088462°
E 45.483399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626312255859375 y=0.126190185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626312255859375 × 214)
    floor (0.626312255859375 × 16384)
    floor (10261.5)     		tx = 10261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126190185546875 × 214)
    floor (0.126190185546875 × 16384)
    floor (2067.5)     		ty = 2067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10261 / 2067 ti = "14/10261/2067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10261/2067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10261 ÷ 214
    10261 ÷ 16384     		x = 0.62628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2067 ÷ 214
    2067 ÷ 16384     		y = 0.12615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62628173828125 × 2 - 1) × π
    0.2525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79345156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12615966796875 × 2 - 1) × π
    0.7476806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34890808138275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79345156} λ = 0.79345156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34890808138275))-π/2
    2×atan(10.4741265845585)-π/2
    2×1.47561148110707-π/2
    2.95122296221413-1.57079632675     		φ = 1.38042664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79345156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.461426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38042664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.092620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10261 KachelY 2067 0.79345156 1.38042664 45.461426 79.092620
    Oben rechts KachelX + 1 10262 KachelY 2067 0.79383506 1.38042664 45.483399 79.092620
    Unten links KachelX 10261 KachelY + 1 2068 0.79345156 1.38035406 45.461426 79.088462
    Unten rechts KachelX + 1 10262 KachelY + 1 2068 0.79383506 1.38035406 45.483399 79.088462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38042664-1.38035406) × R
    7.25800000000998e-05 × 6371000     		dl = 462.407180000636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38042664-1.38035406) × R
    7.25800000000998e-05 × 6371000     		dr = 462.407180000636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79345156-0.79383506) × cos(1.38042664) × R
    0.000383500000000092 × 0.189221916060972 × 6371000     		do = 462.321839240689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79345156-0.79383506) × cos(1.38035406) × R
    0.000383500000000092 × 0.189293184357591 × 6371000     		du = 462.495967537548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38042664)-sin(1.38035406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189221916060972-0.189293184357591)×R²
    abs(0.79383506-0.79345156)×7.12682966181877e-05×R²
    0.000383500000000092×7.12682966181877e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.12682966181877e-05×40589641000000     		ar = 213821.197117839m²