Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10262 / 2070
↖ ↑ ↗
← N 79.080140°
E 45.483399°		 ← 462.83 m → N 79.080140°
E 45.505371°		 →
↑
462.98 m
↓
↑
462.98 m
↓
N 79.075977°
E 45.483399°		 ← 463.01 m →
214 323 m²		 N 79.075977°
E 45.505371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626373291015625 y=0.126373291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626373291015625 × 214)
    floor (0.626373291015625 × 16384)
    floor (10262.5)     		tx = 10262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126373291015625 × 214)
    floor (0.126373291015625 × 16384)
    floor (2070.5)     		ty = 2070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10262 / 2070 ti = "14/10262/2070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10262/2070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10262 ÷ 214
    10262 ÷ 16384     		x = 0.6263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2070 ÷ 214
    2070 ÷ 16384     		y = 0.1263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6263427734375 × 2 - 1) × π
    0.252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79383506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1263427734375 × 2 - 1) × π
    0.747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34775759579187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79383506} λ = 0.79383506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34775759579187))-π/2
    2×atan(10.4620831820549)-π/2
    2×1.47550257105505-π/2
    2.95100514211011-1.57079632675     		φ = 1.38020882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79383506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.483399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38020882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.080140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10262 KachelY 2070 0.79383506 1.38020882 45.483399 79.080140
    Oben rechts KachelX + 1 10263 KachelY 2070 0.79421855 1.38020882 45.505371 79.080140
    Unten links KachelX 10262 KachelY + 1 2071 0.79383506 1.38013615 45.483399 79.075977
    Unten rechts KachelX + 1 10263 KachelY + 1 2071 0.79421855 1.38013615 45.505371 79.075977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38020882-1.38013615) × R
    7.26699999999969e-05 × 6371000     		dl = 462.98056999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38020882-1.38013615) × R
    7.26699999999969e-05 × 6371000     		dr = 462.98056999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79383506-0.79421855) × cos(1.38020882) × R
    0.000383489999999931 × 0.189435796510393 × 6371000     		do = 462.832339789538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79383506-0.79421855) × cos(1.38013615) × R
    0.000383489999999931 × 0.189507150182418 × 6371000     		du = 463.006672136351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38020882)-sin(1.38013615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189435796510393-0.189507150182418)×R²
    abs(0.79421855-0.79383506)×7.13536720252095e-05×R²
    0.000383489999999931×7.13536720252095e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.13536720252095e-05×40589641000000     		ar = 214322.736828976m²