Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10264 / 2024
↖ ↑ ↗
← N 79.269962°
E 45.527344°		 ← 454.88 m → N 79.269962°
E 45.549316°		 →
↑
454.95 m
↓
↑
454.95 m
↓
N 79.265870°
E 45.527344°		 ← 455.05 m →
206 989 m²		 N 79.265870°
E 45.549316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626495361328125 y=0.123565673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626495361328125 × 214)
    floor (0.626495361328125 × 16384)
    floor (10264.5)     		tx = 10264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123565673828125 × 214)
    floor (0.123565673828125 × 16384)
    floor (2024.5)     		ty = 2024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10264 / 2024 ti = "14/10264/2024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10264/2024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10264 ÷ 214
    10264 ÷ 16384     		x = 0.62646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2024 ÷ 214
    2024 ÷ 16384     		y = 0.12353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62646484375 × 2 - 1) × π
    0.2529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79460205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12353515625 × 2 - 1) × π
    0.7529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36539837485205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79460205} λ = 0.79460205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36539837485205))-π/2
    2×atan(10.6482799796292)-π/2
    2×1.4771590776523-π/2
    2.9543181553046-1.57079632675     		φ = 1.38352183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79460205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38352183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.269962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10264 KachelY 2024 0.79460205 1.38352183 45.527344 79.269962
    Oben rechts KachelX + 1 10265 KachelY 2024 0.79498554 1.38352183 45.549316 79.269962
    Unten links KachelX 10264 KachelY + 1 2025 0.79460205 1.38345042 45.527344 79.265870
    Unten rechts KachelX + 1 10265 KachelY + 1 2025 0.79498554 1.38345042 45.549316 79.265870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38352183-1.38345042) × R
    7.1410000000105e-05 × 6371000     		dl = 454.953110000669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38352183-1.38345042) × R
    7.1410000000105e-05 × 6371000     		dr = 454.953110000669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79460205-0.79498554) × cos(1.38352183) × R
    0.000383490000000042 × 0.186181741143653 × 6371000     		do = 454.881983590174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79460205-0.79498554) × cos(1.38345042) × R
    0.000383490000000042 × 0.186251902088078 × 6371000     		du = 455.053401847274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38352183)-sin(1.38345042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186181741143653-0.186251902088078)×R²
    abs(0.79498554-0.79460205)×7.01609444252738e-05×R²
    0.000383490000000042×7.01609444252738e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.01609444252738e-05×40589641000000     		ar = 206988.966839516m²